Estudio de la actividad cerebral de un ratón

**a) Estudiar la continuidad de $V(t)$. ¿Es $V(t)$ derivable en $t=4$?** Para estudiar la continuidad en $t=4$, debemos comprobar que el límite por la izquierda, el límite por la derecha y el valor de la función coinciden: 1. **Límite por la izquierda ($t \to 4^-$):** Usamos la primera rama. $$\lim_{t \to 4^-} (-t^2 + 24t + 96) = -(4)^2 + 24(4) + 96 = -16 + 96 + 96 = 176.$$ 2. **Límite por la derecha ($t \to 4^+$):** Usamos la segunda rama. $$\lim_{t \to 4^+} \left(\frac{736}{t+2} + 288\right) = \frac{736}{4+2} + 288 = \frac{736}{6} + 288 = \frac{368}{3} + 288 \approx 122.67 + 288 = 410.67.$$ 3. **Valor de la función ($V(4)$):** $$V(4) = \frac{736}{4+2} + 288 = \frac{1232}{3} \approx 410.67.$$ Como los límites laterales son distintos ($176 \neq 410.67$), la función tiene una **discontinuidad de salto finito** en $t=4$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{V(t) \text{ no es continua en } t=4}$$

Para que una función sea derivable en un punto, primero debe ser **continua** en dicho punto. Como hemos demostrado en el paso anterior que $V(t)$ no es continua en $t=4$ debido al salto entre las ramas, podemos afirmar directamente que la función no es derivable en ese instante. 💡 **Tip:** Recuerda siempre este orden lógico: si no hay continuidad, no puede haber derivabilidad. ✅ **Resultado:** $$\boxed{V(t) \text{ no es derivable en } t=4}$$

**b) Usando derivadas, estudiar el crecimiento y decrecimiento de esta función...** Calculamos la derivada de la función por tramos: $$V'(t) = \begin{cases} -2t + 24, & 0 < t < 4 \\ -\frac{736}{(t+2)^2}, & 4 < t < 12 \end{cases}$$ Analizamos el signo de $V'(t)$ en cada intervalo: - **En $(0, 4)$:** $V'(t) = -2t + 24$. Si $t < 4$, entonces $-2t > -8$, por lo que $-2t + 24 > 16$. La derivada es siempre **positiva**, la función es **creciente**. - **En $(4, 12)$:** $V'(t) = -\frac{736}{(t+2)^2}$. Al ser un cociente con numerador positivo y denominador al cuadrado (siempre positivo), precedido de un signo menos, la derivada es siempre **negativa**, la función es **decreciente**. **Tabla de monotonía:** $$\begin{array}{c|ccc} t & (0,4) & 4 & (4,12)\\ \hline V'(t) & + & \nexists & -\\ \hline V(t) & \nearrow & \text{salto} & \searrow \end{array}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Creciente en } (0, 4) \text{ y decreciente en } (4, 12)}$$

**...¿En qué momentos alcanzó el ratón los valores mínimo y máximo de actividad cerebral? ¿Cuáles fueron dichos valores?** Evaluamos la función en los puntos críticos y extremos del dominio: - **Inicio ($t=0$):** $V(0) = -0^2 + 24(0) + 96 = 96$ microvoltios. - **Antes del salto ($t \to 4^-$):** $V \to 176$ microvoltios. - **Tras el salto ($t=4$):** $V(4) = \frac{1232}{3} \approx 410.67$ microvoltios. - **Final ($t=12$):** $V(12) = \frac{736}{14} + 288 = \frac{368}{7} + 288 \approx 52.57 + 288 = 340.57$ microvoltios. Comparando los valores: - El valor más bajo es $96$ en $t=0$. - El valor más alto es $\approx 410.67$ en $t=4$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Mínimo: } 96 \, \mu V \text{ a las 0 h. Máximo: } 410.67 \, \mu V \text{ a las 4 h.}}$$

**c) Representar gráficamente la función. ¿Cuál es la actividad cerebral del ratón a las 0 horas? ...** La actividad a las 0 horas ya la hemos calculado en el apartado anterior: $$V(0) = 96 \, \mu V.$$ Para la representación, dibujamos el arco de parábola creciente hasta $t=4$ y luego la hipérbola decreciente desde el salto en $V \approx 410.67$. [Consulte el interactivo para ver la gráfica detallada].

**...¿En qué momentos anteriores la actividad cerebral fue exactamente 200 microvoltios menor?** Esta pregunta suele referirse a una comparación con el valor final del experimento ($t=12$). Calculamos primero $V(12)$ de forma exacta: $$V(12) = \frac{736}{14} + 288 = \frac{368}{7} + 288 = \frac{2384}{7} \approx 340.57 \, \mu V.$$ Buscamos el momento $t$ donde $V(t) = 340.57 - 200 = 140.57 \, \mu V$. Probamos en la primera rama ($0 \le t < 4$): $$-t^2 + 24t + 96 = 140.57 \implies t^2 - 24t + 44.57 = 0$$ Usamos la fórmula cuadrática: $$t = \frac{24 \pm \sqrt{(-24)^2 - 4(1)(44.57)}}{2} = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 178.28}}{2} = \frac{24 \pm \sqrt{397.72}}{2} \approx \frac{24 \pm 19.94}{2}$$ - $t_1 = \frac{24 - 19.94}{2} \approx 2.03$ horas. - $t_2 = \frac{24 + 19.94}{2} = 21.97$ (fuera de la rama). ✅ **Resultado:** $$\boxed{V(0)=96 \, \mu V \text{ y el momento fue a las } t \approx 2.03 \text{ horas}}$$