Área entre curvas y presupuesto de jardinería

**a) Representar la superficie que se destina al jardín. (0,75 puntos)** Para representar la superficie, primero debemos encontrar los puntos donde las dos curvas se cortan. Igualamos ambas funciones: $$\frac{1}{4}x^2 - x + 5 = -\frac{1}{4}x^2 + 2x + 1$$ Pasamos todos los términos a un lado para formar una ecuación de segundo grado: $$\frac{1}{4}x^2 + \frac{1}{4}x^2 - x - 2x + 5 - 1 = 0$$ $$\frac{1}{2}x^2 - 3x + 4 = 0$$ Multiplicamos toda la ecuación por $2$ para facilitar el cálculo: $$x^2 - 6x + 8 = 0$$ Resolvemos mediante la fórmula general: $$x = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(1)(8)}}{2(1)} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2} = \frac{6 \pm 2}{2}$$ Obtenemos los valores de corte: $$x_1 = 4, \quad x_2 = 2$$ Calculamos las ordenadas sustituyendo en cualquiera de las funciones: - Para $x=2$: $y = \frac{1}{4}(2)^2 - 2 + 5 = 1 - 2 + 5 = 4 \implies (2, 4)$ - Para $x=4$: $y = \frac{1}{4}(4)^2 - 4 + 5 = 4 - 4 + 5 = 5 \implies (4, 5)$ 💡 **Tip:** Los puntos de corte nos indican los límites de integración para el siguiente apartado.

**b) ¿Cuánto mide dicha superficie? (1 punto)** El área de la superficie comprendida entre dos curvas se calcula mediante la integral definida de la función superior menos la función inferior entre los puntos de corte. En el intervalo $[2, 4]$, comprobamos cuál es la función superior evaluando en $x=3$: - $f(3) = \frac{1}{4}(9) - 3 + 5 = 2,25 + 2 = 4,25$ - $g(3) = -\frac{1}{4}(9) + 2(3) + 1 = -2,25 + 6 + 1 = 4,75$ Como $g(x) \gt f(x)$, planteamos la integral: $$A = \int_{2}^{4} [g(x) - f(x)] \, dx = \int_{2}^{4} \left[ \left( -\frac{1}{4}x^2 + 2x + 1 \right) - \left( \frac{1}{4}x^2 - x + 5 \right) \right] \, dx$$ $$A = \int_{2}^{4} \left( -\frac{1}{2}x^2 + 3x - 4 \right) \, dx$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el área siempre debe ser un valor positivo. Si el resultado fuera negativo, habrías restado las funciones en el orden inverso.

Calculamos la primitiva e integramos entre los límites $2$ y $4$: $$A = \left[ -\frac{1}{2} \cdot \frac{x^3}{3} + 3 \cdot \frac{x^2}{2} - 4x \right]_{2}^{4} = \left[ -\frac{x^3}{6} + \frac{3x^2}{2} - 4x \right]_{2}^{4}$$ Aplicamos la **Regla de Barrow**: $$A = \left( -\frac{4^3}{6} + \frac{3 \cdot 4^2}{2} - 4 \cdot 4 \right) - \left( -\frac{2^3}{6} + \frac{3 \cdot 2^2}{2} - 4 \cdot 2 \right)$$ $$A = \left( -\frac{64}{6} + 24 - 16 \right) - \left( -\frac{8}{6} + 6 - 8 \right)$$ $$A = \left( -\frac{32}{3} + 8 \right) - \left( -\frac{4}{3} - 2 \right)$$ $$A = \left( \frac{-32 + 24}{3} \right) - \left( \frac{-4 - 6}{3} \right) = -\frac{8}{3} - \left( -\frac{10}{3} \right) = \frac{2}{3}$$ La superficie del jardín mide: ✅ **Resultado:** $$\boxed{A = \frac{2}{3} \approx 0,67 \text{ m}^2}$$

**c) La superficie se recubre con césped artificial... ¿Cuál es el coste total de la obra? (0,75 puntos)** Desglosamos los costes por metro cuadrado incluyendo los impuestos correspondientes: 1. **Césped y materiales:** - Coste base: $25,99 + 18 = 43,99$ €/m². - Con 7% de impuesto: $43,99 \cdot 1,07 = 47,0693$ €/m². 2. **Mano de obra:** - Coste base: $20$ €/m². - Con 4% de impuesto: $20 \cdot 1,04 = 20,80$ €/m². 3. **Coste total por m²:** - $C_{m^2} = 47,0693 + 20,80 = 67,8693$ €/m². Ahora multiplicamos por el área total hallada anteriormente ($2/3$ m²): $$Coste_{total} = \frac{2}{3} \cdot 67,8693 = 45,2462 \text{ €}$$ Redondeando a dos decimales (céntimos): ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Coste total} = 45,25 \text{ €}}$$