Álgebra 2025 Canarias
Optimización de almacenamiento en centro de datos
4A. El Ayuntamiento dispone de un presupuesto de 4000€ para ampliar la capacidad de almacenamiento de su centro de datos, al que se encuentran conectados los 700 ordenadores que dan servicio a la administración. Para ello, el Ayuntamiento puede adquirir discos duros SATA de 9,6 terabytes (Tb) y discos duros SSD de 1,2 Tb de capacidad. Cada disco SATA es capaz de dar servicio a 100 ordenadores y cuesta 200€. En cambio, los discos SSD pueden dar servicio a un máximo de 50 ordenadores y cuestan 100€ cada uno. De acuerdo con un estudio realizado por los técnicos, para garantizar una adecuada calidad de servicio, será necesario instalar como mínimo 30 discos duros en total, con al menos una unidad de cada tipo de disco.
a) Formular el correspondiente programa de programación lineal. (1 punto)
b) Representar la región factible e indicar cuáles son sus vértices. (0,75 puntos)
c) ¿Cuántos aparatos de cada tipo deben instalarse para conseguir la máxima capacidad de almacenamiento? Una vez instalados, ¿cuál es la capacidad media disponible por ordenador? (0,75 puntos)
Paso 1
Definición de variables y función objetivo
**a) Formular el correspondiente programa de programación lineal. (1 punto)**
Primero, definimos las variables de decisión del problema:
- $x$: número de discos duros tipo **SATA**.
- $y$: número de discos duros tipo **SSD**.
El objetivo es maximizar la capacidad total de almacenamiento. Según el enunciado, los discos SATA tienen 9,6 Tb y los SSD 1,2 Tb. Por tanto, la función objetivo es:
$$f(x, y) = 9,6x + 1,2y$$
💡 **Tip:** En problemas de programación lineal, siempre identifica primero qué quieres maximizar o minimizar; eso definirá tu función objetivo.
Paso 2
Planteamiento de las restricciones
A continuación, extraemos las limitaciones del enunciado para formar el sistema de inecuaciones:
1. **Presupuesto:** El coste total no puede superar los 4000€.
$$200x + 100y \le 4000 \implies 2x + y \le 40$$
2. **Servicio a ordenadores:** Se debe dar servicio a 700 ordenadores.
$$100x + 50y \ge 700 \implies 2x + y \ge 14$$
3. **Número total de discos:** Al menos 30 discos en total.
$$x + y \ge 30$$
4. **Condiciones de existencia:** Al menos una unidad de cada tipo.
$$x \ge 1, \quad y \ge 1$$
El programa lineal completo es:
$$\boxed{\begin{cases} \text{Maximizar } f(x, y) = 9,6x + 1,2y \\ \text{Sujeto a:} \\ 2x + y \le 40 \\ 2x + y \ge 14 \\ x + y \ge 30 \\ x \ge 1 \\ y \ge 1 \end{cases}}$$
Paso 3
Representación de la región factible
**b) Representar la región factible e indicar cuáles son sus vértices. (0,75 puntos)**
Para representar la región factible, dibujamos las rectas asociadas a las restricciones:
- $r_1: 2x + y = 40$. Pasa por $(0, 40)$ y $(20, 0)$. La región es la parte inferior ($0 \le 40$).
- $r_2: x + y = 30$. Pasa por $(0, 30)$ y $(30, 0)$. La región es la parte superior ($0 \ge 30$ es falso).
- $r_3: 2x + y = 14$. Pasa por $(0, 14)$ y $(7, 0)$. Esta restricción es redundante pues queda fuera de la zona limitada por las anteriores.
- $x = 1, y = 1$: Rectas vertical y horizontal.
La intersección de estos semiplanos genera la región factible.
💡 **Tip:** Para saber qué lado de la recta sombrear, sustituye el punto $(0,0)$ en la inecuación. Si se cumple, el origen pertenece a la solución.
Paso 4
Cálculo de los vértices
Los vértices de la región factible se obtienen calculando los puntos de corte de las rectas que limitan el recinto:
1. **Vértice A:** Intersección de $x = 1$ y $x + y = 30$.
$$1 + y = 30 \implies y = 29 \implies A(1, 29)$$
2. **Vértice B:** Intersección de $x = 1$ y $2x + y = 40$.
$$2(1) + y = 40 \implies y = 38 \implies B(1, 38)$$
3. **Vértice C:** Intersección de $x + y = 30$ y $2x + y = 40$.
Restando las ecuaciones:
$$(2x + y) - (x + y) = 40 - 30 \implies x = 10$$
Sustituyendo $x=10$ en la primera: $10 + y = 30 \implies y = 20 \implies C(10, 20)$$
✅ **Vértices:**
$$\boxed{A(1, 29), \quad B(1, 38), \quad C(10, 20)}$$
Paso 5
Cálculo de la solución óptima
**c) ¿Cuántos aparatos de cada tipo deben instalarse para conseguir la máxima capacidad de almacenamiento?**
Evaluamos la función objetivo $f(x, y) = 9,6x + 1,2y$ en cada uno de los vértices:
- En $A(1, 29): f(1, 29) = 9,6(1) + 1,2(29) = 9,6 + 34,8 = 44,4$ Tb.
- En $B(1, 38): f(1, 38) = 9,6(1) + 1,2(38) = 9,6 + 45,6 = 55,2$ Tb.
- En $C(10, 20): f(10, 20) = 9,6(10) + 1,2(20) = 96 + 24 = 120$ Tb.
El valor máximo se alcanza en el punto $C(10, 20)$.
✅ **Solución:**
$$\boxed{\text{Deben instalarse 10 discos SATA y 20 discos SSD}}$$
Paso 6
Cálculo de la capacidad media por ordenador
**Una vez instalados, ¿cuál es la capacidad media disponible por ordenador?**
Para calcular la media, dividimos la capacidad total máxima entre el número total de ordenadores (700):
$$\text{Capacidad total} = 120 \text{ Tb}$$
$$\text{Capacidad media} = \frac{120}{700} = \frac{12}{70} = \frac{6}{35} \approx 0,1714 \text{ Tb/ordenador}$$
Si queremos expresarlo en Gigabytes (considerando $1 \text{ Tb} = 1000 \text{ Gb}$ para simplificar o dejando el valor en Tb):
$$0,1714 \text{ Tb} \approx 171,43 \text{ Gb}$$
✅ **Capacidad media:**
$$\boxed{0,1714 \text{ Tb por ordenador}}$$