Sistema de ecuaciones: Gestión de huéspedes en un hotel

**a) Plantear el correspondiente sistema de ecuaciones. (1,5 puntos)** En primer lugar, definimos las variables que representarán el número de clientes en cada régimen: - $x$: número de clientes en Solo Alojamiento (SA). - $y$: número de clientes en Alojamiento y Desayuno (AD). - $z$: número de clientes en Todo Incluido (TI). Ahora, traducimos las condiciones del enunciado a lenguaje algebraico: 1. "El número de clientes en Todo Incluido es el doble que en Solo Alojamiento": $$z = 2x \implies 2x - z = 0$$ 2. "Por cada tres clientes en Solo Alojamiento, hay dos en Alojamiento y Desayuno": Esto establece una proporción $\frac{x}{3} = \frac{y}{2}$. Cruzando términos: $$2x = 3y \implies 2x - 3y = 0$$ 3. "Si se marcharan 39 clientes de Todo Incluido, la suma de los otros dos regímenes sería igual a los que quedan en TI": $$x + y = z - 39 \implies x + y - z = -39$$ 💡 **Tip:** Al plantear proporciones como "por cada $A$ de $X$ hay $B$ de $Y$", la relación es $\frac{X}{A} = \frac{Y}{B}$. El sistema de ecuaciones resultante es: $$\boxed{\begin{cases} 2x - z = 0 \\ 2x - 3y = 0 \\ x + y - z = -39 \end{cases}}$$

**b) ¿Cuántos clientes hay en cada régimen de alojamiento? (1 punto)** Para resolver el sistema, utilizaremos el método de sustitución, ya que tenemos relaciones directas entre las variables en las dos primeras ecuaciones. De la primera ecuación despejamos $z$: $$z = 2x$$ De la segunda ecuación despejamos $y$: $$3y = 2x \implies y = \frac{2}{3}x$$ Sustituimos estas dos expresiones en la tercera ecuación ($x + y - z = -39$): $$x + \frac{2}{3}x - 2x = -39$$ Para eliminar el denominador, multiplicamos toda la ecuación por $3$: $$3x + 2x - 6x = -117$$ $$-x = -117$$ $$\boxed{x = 117}$$ 💡 **Tip:** Siempre es recomendable simplificar las fracciones multiplicando por el m.c.m. de los denominadores para evitar errores con las operaciones de fracciones.

Una vez hallado el valor de $x$, calculamos los valores de $y$ y $z$ sustituyendo en las expresiones obtenidas anteriormente: Para $y$: $$y = \frac{2}{3}(117) = 2 \cdot 39 = 78$$ Para $z$: $$z = 2(117) = 234$$ **Comprobación:** Si $x=117$, $y=78$ y $z=234$: - $TI$ es el doble de $SA$: $234 = 2 \cdot 117$ (Correcto). - Proporción $SA/AD$: $117/3 = 39$ y $78/2 = 39$ (Correcto). - Condición de los 39 clientes: $117 + 78 = 234 - 39 \implies 195 = 195$ (Correcto). ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{SA: } 117, \text{ AD: } 78, \text{ TI: } 234}$$