Probabilidad y Estadística 2025 Canarias
Inferencia estadística y probabilidad normal
1. Se quiere estimar el sueldo medio de los trabajadores de cierto sector. Para ello se selecciona una muestra de 625 trabajadores y se obtiene un sueldo medio muestral de 1480 €. Suponiendo que el sueldo de un trabajador es una variable aleatoria con distribución normal y desviación típica $\sigma$ igual a 250 €:
a) Hallar el intervalo de confianza del 95% para el sueldo medio de un trabajador. (1 punto)
b) Si se quiere que el error máximo de la estimación del sueldo medio de un trabajador sea de 15 €, con una confianza del 98%, determinar el tamaño mínimo de la muestra que se debe elegir. (1 punto)
c) Si se considera el valor 1480 como sueldo medio poblacional, y se eligen al azar y de manera independiente dos trabajadores del sector, ¿cuál es la probabilidad de que cada uno de ellos gane más de 1500 €? (0,5 puntos)
Paso 1
Identificación de datos y cálculo del valor crítico para el intervalo de confianza
**a) Hallar el intervalo de confianza del 95% para el sueldo medio de un trabajador. (1 punto)**
Primero, identificamos los datos proporcionados por el enunciado:
- Tamaño de la muestra: $n = 625$
- Media muestral: $\bar{x} = 1480$
- Desviación típica poblacional: $\sigma = 250$
- Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0,95$
Para un nivel de confianza del $95\%$, calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$:
1. $\alpha = 1 - 0,95 = 0,05$
2. $\alpha/2 = 0,025$
3. Buscamos en la tabla de la normal $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0,025 = 0,975$.
Consultando la tabla de la distribución $N(0, 1)$, obtenemos que:
$$z_{\alpha/2} = 1,96$$
💡 **Tip:** Los valores críticos más comunes son $1,96$ para el $95\%$ y $2,575$ o $2,58$ para el $99\%$.
Paso 2
Cálculo del intervalo de confianza
La fórmula del intervalo de confianza para la media poblacional $\mu$ es:
$$IC = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$
Calculamos primero el error máximo admisible $E$:
$$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1,96 \cdot \frac{250}{\sqrt{625}} = 1,96 \cdot \frac{250}{25} = 1,96 \cdot 10 = 19,6$$
Ahora aplicamos este error a la media muestral:
- Límite inferior: $1480 - 19,6 = 1460,4$
- Límite superior: $1480 + 19,6 = 1499,6$
✅ **Resultado:**
$$\boxed{IC = (1460,4, \, 1499,6)}$$
Paso 3
Determinación del valor crítico para el 98% de confianza
**b) Si se quiere que el error máximo de la estimación del sueldo medio de un trabajador sea de 15 €, con una confianza del 98%, determinar el tamaño mínimo de la muestra que se debe elegir. (1 punto)**
Identificamos los nuevos parámetros:
- Error máximo: $E = 15$
- Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0,98$
- Desviación típica: $\sigma = 250$
Calculamos el nuevo valor crítico $z_{\alpha/2}$:
1. $\alpha = 1 - 0,98 = 0,02$
2. $\alpha/2 = 0,01$
3. Buscamos en la tabla $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0,01 = 0,99$.
Mirando la tabla de la normal estándar:
$$z_{\alpha/2} = 2,33$$
(También se acepta $2,325$ o $2,326$ según la precisión de la tabla utilizada).
💡 **Tip:** Recuerda que a mayor nivel de confianza, mayor será el valor crítico y, por tanto, mayor será el tamaño de la muestra necesario para mantener el mismo error.
Paso 4
Cálculo del tamaño mínimo de la muestra
A partir de la fórmula del error $E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$, despejamos $n$:
$$\sqrt{n} = \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \implies n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2$$
Sustituimos los valores:
$$n = \left( \frac{2,33 \cdot 250}{15} \right)^2 = \left( \frac{582,5}{15} \right)^2 \approx (38,833...)^2 \approx 1508,027$$
Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero y el error debe ser **como máximo** de 15, debemos redondear siempre al alza.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{n \ge 1509 \text{ trabajadores}}$$
Paso 5
Probabilidad de que un trabajador gane más de 1500 €
**c) Si se considera el valor 1480 como sueldo medio poblacional, y se eligen al azar y de manera independiente dos trabajadores del sector, ¿cuál es la probabilidad de que cada uno de ellos gane más de 1500 €? (0,5 puntos)**
Sea $X$ la variable aleatoria "sueldo de un trabajador". Tenemos que $X \sim N(\mu = 1480, \, \sigma = 250)$.
Queremos hallar $P(X \gt 1500)$. Tipificamos la variable:
$$Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{1500 - 1480}{250} = \frac{20}{250} = 0,08$$
Entonces:
$$P(X \gt 1500) = P(Z \gt 0,08) = 1 - P(Z \le 0,08)$$
Buscamos $0,08$ en la tabla de la $N(0, 1)$:
$$P(Z \le 0,08) = 0,5319$$
Por tanto:
$$P(X \gt 1500) = 1 - 0,5319 = 0,4681$$
💡 **Tip:** Tipificar consiste en restar la media y dividir por la desviación típica para poder usar la tabla de la normal estándar $N(0,1)$.
Paso 6
Cálculo de la probabilidad conjunta para dos trabajadores
Como se eligen dos trabajadores de manera **independiente**, la probabilidad de que ambos ganen más de 1500 € es el producto de sus probabilidades individuales.
Sea $A$ el evento "el primer trabajador gana más de 1500" y $B$ el evento "el segundo trabajador gana más de 1500":
$$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$
$$P(A \cap B) = 0,4681 \cdot 0,4681 = (0,4681)^2 \approx 0,2191$$
Podemos visualizarlo como una rama de un árbol de decisión:
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P = 0,2191}$$
(La probabilidad es del $21,91\%$ aproximadamente).