Estimación de proporciones y probabilidad de cruceristas

**a) Determinar un intervalo de confianza al 98% para la proporción de cruceristas procedentes de Alemania. (0,75 puntos)** Primero, extraemos los datos de la muestra: - Tamaño de la muestra ($n$): $196$ - Número de alemanes en la muestra ($x$): $34$ Calculamos la proporción muestral ($\hat{p}$): $$\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{34}{196} \approx 0,1735$$ Por tanto, la proporción de no alemanes es: $$\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0,1735 = 0,8265$$ 💡 **Tip:** La proporción muestral es el mejor estimador puntual de la proporción poblacional.

Para un nivel de confianza del $98\%$, tenemos: $$1 - \alpha = 0,98 \implies \alpha = 0,02 \implies \frac{\alpha}{2} = 0,01$$ Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0,01 = 0,99$. Consultando la tabla de la normal estándar $N(0,1)$: $$z_{\alpha/2} = 2,33$$ Calculamos el error máximo admitido ($E$): $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} = 2,33 \cdot \sqrt{\frac{0,1735 \cdot 0,8265}{196}} \approx 2,33 \cdot 0,02705 \approx 0,0630$$ El intervalo de confianza viene dado por $(\hat{p} - E, \hat{p} + E)$: $$IC = (0,1735 - 0,0630, \; 0,1735 + 0,0630) = (0,1105, \; 0,2365)$$ ✅ **Resultado (Intervalo de confianza):** $$\boxed{IC = [0,1105; \; 0,2365]}$$

**b) Si se deseara estimar dicha proporción con un margen de error del 2% y una confianza del 95% ¿cuál debería ser el tamaño de la muestra? (1 punto)** Identificamos las nuevas condiciones: - Margen de error ($E$): $2\% = 0,02$ - Confianza: $95\% \implies 1 - \alpha = 0,95 \implies z_{\alpha/2} = 1,96$ - Usamos la proporción muestral anterior como estimación: $\hat{p} = 0,1735$ y $\hat{q} = 0,8265$ 💡 **Tip:** Recuerda que si no se conociera una proporción previa, se usaría el caso más desfavorable ($p = 0,5$), pero aquí aprovechamos el dato del apartado anterior.

Partimos de la fórmula del error para despejar $n$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} \implies n = \frac{z_{\alpha/2}^2 \cdot \hat{p} \cdot \hat{q}}{E^2}$$ Sustituimos los valores: $$n = \frac{(1,96)^2 \cdot 0,1735 \cdot 0,8265}{(0,02)^2} = \frac{3,8416 \cdot 0,1434}{0,0004} = \frac{0,550885}{0,0004} \approx 1377,21$$ Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero y garantizar que el error sea como máximo del $2\%$, siempre redondeamos hacia arriba. ✅ **Resultado (Tamaño de la muestra):** $$\boxed{n = 1378 \text{ cruceristas}}$$

**c) De los 196 cruceristas anteriores se selecciona al azar un grupo de 5 para una entrevista en la TV. ¿Cuál es la probabilidad de que en dicho grupo haya al menos un alemán? (0,75 puntos)** Definimos el suceso: $A = \text{"Al menos un alemán en el grupo de 5"}$ Es mucho más sencillo calcularlo a través del suceso contrario: $\bar{A} = \text{"Ningún alemán en el grupo"} = \text{"Todos son no alemanes"}$ En el grupo total de $196$ personas hay $34$ alemanes y $196 - 34 = 162$ no alemanes. Calculamos la probabilidad de elegir $5$ no alemanes de forma sucesiva sin reemplazamiento: $$P(\bar{A}) = \frac{162}{196} \cdot \frac{161}{195} \cdot \frac{160}{194} \cdot \frac{159}{193} \cdot \frac{158}{192} \approx 0,3794$$ 💡 **Tip:** Cuando pidan la probabilidad de "al menos uno", usa siempre la fórmula $P(A) = 1 - P(\bar{A})$.

Finalmente, calculamos la probabilidad solicitada: $$P(A) = 1 - P(\bar{A}) = 1 - 0,3794 = 0,6206$$ (Si se hubiera aproximado por una distribución binomial $B(5; \, 0,1735)$ considerando la población suficientemente grande, el resultado sería $1 - (0,8265)^5 \approx 0,6211$, un valor muy similar). ✅ **Resultado (Probabilidad):** $$\boxed{P(\text{al menos un alemán}) = 0,6206}$$