Probabilidad de transporte y retrasos

Antes de dibujar el árbol, definimos los sucesos según el enunciado: - $C$: El envío se realiza por **carretera**. - $T$: El envío se realiza por **tren**. - $A$: El envío se realiza por **avión**. - $R$: El envío sufre **retraso**. - $\bar{R}$: El envío **no sufre retraso** (entrega a tiempo). Calculamos la probabilidad del envío por avión, ya que el enunciado indica que es "el resto": $$P(A) = 1 - (P(C) + P(T)) = 1 - (0.42 + 0.47) = 1 - 0.89 = 0.11$$ Las probabilidades de retraso condicionadas al transporte son: - $P(R|C) = 0.10 \implies P(\bar{R}|C) = 0.90$ - $P(R|T) = 0.05 \implies P(\bar{R}|T) = 0.95$ - $P(R|A) = 0.07 \implies P(\bar{R}|A) = 0.93$ 💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades que parten de un mismo nodo en el árbol siempre debe ser 1.

**a) Dibujar el correspondiente árbol de probabilidades. (0,5 puntos)** Representamos los datos en el árbol:

**b) Hallar la probabilidad de que, en una determinada semana, los envíos se entreguen en destino sin retrasos. (1 punto)** Para calcular la probabilidad de que no haya retraso $P(\bar{R})$, utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. Debemos sumar las probabilidades de llegar al suceso $\bar{R}$ a través de todas las vías posibles (carretera, tren o avión): $$P(\bar{R}) = P(C) \cdot P(\bar{R}|C) + P(T) \cdot P(\bar{R}|T) + P(A) \cdot P(\bar{R}|A)$$ Sustituimos los valores del árbol: $$P(\bar{R}) = (0.42 \cdot 0.90) + (0.47 \cdot 0.95) + (0.11 \cdot 0.93)$$ Realizamos los cálculos intermedios: $$P(\bar{R}) = 0.378 + 0.4465 + 0.1023$$ $$P(\bar{R}) = 0.9268$$ 💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total se usa cuando un suceso depende de varios casos previos que forman una partición del espacio muestral. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{R}) = 0.9268}$$ (o bien el 92,68%)

**c) Sabiendo que se ha producido retraso en la entrega en destino, ¿cuál es la probabilidad de que el envío se haya realizado por tren? (1 punto)** Nos piden calcular una probabilidad a posteriori, es decir, sabiendo el resultado final ($R$), queremos saber la causa ($T$). Usamos el **Teorema de Bayes**: $$P(T|R) = \frac{P(T \cap R)}{P(R)} = \frac{P(T) \cdot P(R|T)}{P(R)}$$ Primero necesitamos $P(R)$, que es la probabilidad complementaria a la calculada en el apartado anterior: $$P(R) = 1 - P(\bar{R}) = 1 - 0.9268 = 0.0732$$ Ahora aplicamos la fórmula: $$P(T|R) = \frac{0.47 \cdot 0.05}{0.0732} = \frac{0.0235}{0.0732}$$ Calculamos el resultado final: $$P(T|R) \approx 0.3210$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes nos permite "invertir" la condicional. Siempre es la probabilidad de la rama específica dividida por la probabilidad total del suceso que ya sabemos que ha ocurrido. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(T|R) \approx 0.3210}$$ (o un 32,10%)