Análisis 2025 Canarias
Análisis de ventas de una bebida refrescante
3A. Una empresa canaria ha decidido comercializar una bebida refrescante con zumo de aloe vera ecológico. El número de bebidas vendidas (en miles de unidades), durante los primeros seis meses tras el lanzamiento, viene dado por la función:
$$A(t) = \begin{cases} 12 - t(t - 2), & 0 \leq t \leq 3 \\ \frac{5t + 12}{3}, & 3 < t \leq 6 \end{cases}$$
donde $t$ es el tiempo transcurrido en meses.
(a) Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función durante los 6 primeros meses tras el lanzamiento de la bebida. (1 punto)
(b) Estudiar, usando las derivadas, el crecimiento y decrecimiento de la función. ¿Cuáles fueron los valores mínimo y máximo de unidades vendidas y en qué meses se produjeron dichos valores? (1 punto)
(c) Dibujar la gráfica de la función $A(t)$. A la vista de la información proporcionada por la función $A(t)$, y considerando que el incremento de ventas solo se consigue mediante campañas publicitarias, ¿crees que la empresa contrató servicios de publicidad previos al lanzamiento? ¿En algún momento tuvo que realizar un refuerzo de la campaña publicitaria? (0,5 puntos)
Paso 1
Estudio de la continuidad en el dominio
**(a) Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función durante los 6 primeros meses tras el lanzamiento de la bebida. (1 punto)**
Primero analizamos la continuidad en el intervalo $[0, 6]$. Las funciones que forman cada rama (una polinómica de segundo grado y una lineal) son continuas en sus respectivos intervalos. El único punto de posible discontinuidad es el punto de salto entre ramas $t = 3$.
1. **Valor de la función en $t=3$:**
$$A(3) = 12 - 3(3 - 2) = 12 - 3(1) = 9$$
2. **Límite por la izquierda ($t \to 3^-$):**
$$\lim_{t \to 3^-} A(t) = \lim_{t \to 3^-} [12 - t(t - 2)] = 12 - 3(1) = 9$$
3. **Límite por la derecha ($t \to 3^+$):**
$$\lim_{t \to 3^+} A(t) = \lim_{t \to 3^+} \frac{5t + 12}{3} = \frac{5(3) + 12}{3} = \frac{27}{3} = 9$$
Como $A(3) = \lim_{t \to 3^-} A(t) = \lim_{t \to 3^+} A(t) = 9$, la función es **continua en $t = 3$** y, por tanto, en todo el intervalo $[0, 6]$.
💡 **Tip:** Una función es continua en un punto si el valor de la función coincide con sus límites laterales en dicho punto.
Paso 2
Estudio de la derivabilidad
Para estudiar la derivabilidad, primero calculamos la función derivada en los intervalos abiertos:
Para $0 < t < 3$: $A(t) = 12 - t^2 + 2t \implies A'(t) = -2t + 2$
Para $3 < t < 6$: $A(t) = \frac{5}{3}t + 4 \implies A'(t) = \frac{5}{3}$
Obtenemos la derivada provisional:
$$A'(t) = \begin{cases} -2t + 2, & 0 < t < 3 \\ \frac{5}{3}, & 3 < t < 6 \end{cases}$$
Calculamos las derivadas laterales en el punto de salto $t = 3$:
- Derivada por la izquierda: $A'(3^-) = -2(3) + 2 = -4$
- Derivada por la derecha: $A'(3^+) = \frac{5}{3}$
Como $A'(3^-) \neq A'(3^+)$, la función **no es derivable en $t = 3$** (existe un punto anguloso).
✅ **Resultado:** La función es **continua en $[0, 6]$** y **derivable en $(0, 3) \cup (3, 6)$**.
Paso 3
Estudio de la monotonía (Crecimiento y Decrecimiento)
**(b) Estudiar, usando las derivadas, el crecimiento y decrecimiento de la función. ¿Cuáles fueron los valores mínimo y máximo de unidades vendidas y en qué meses se produjeron dichos valores? (1 punto)**
Igualamos la derivada a cero para encontrar puntos críticos:
1. En la primera rama ($0 < t < 3$): $-2t + 2 = 0 \implies t = 1$.
2. En la segunda rama ($3 < t < 6$): $\frac{5}{3} \neq 0$ (no hay puntos críticos aquí).
Analizamos el signo de $A'(t)$ en los intervalos determinados por $t=1$ y $t=3$:
$$\begin{array}{c|ccccc}
t & (0, 1) & 1 & (1, 3) & 3 & (3, 6) \\ \hline
A'(t) & + & 0 & - & \nexists & + \\
A(t) & \nearrow & \text{Máx rel} & \searrow & \text{Mín rel} & \nearrow
\end{array}$$
- **Crecimiento:** La función crece en $(0, 1) \cup (3, 6)$.
- **Decrecimiento:** La función decrece en $(1, 3)$.
💡 **Tip:** Si $A'(t) > 0$ la función crece, y si $A'(t) < 0$ la función decrece.
Paso 4
Cálculo de valores máximos y mínimos
Para hallar los valores máximo y mínimo absolutos en el intervalo cerrado $[0, 6]$, evaluamos la función en los extremos del intervalo, en el punto crítico y en el punto donde no es derivable:
- $A(0) = 12 - 0(0 - 2) = 12$ mil unidades.
- $A(1) = 12 - 1(1 - 2) = 12 + 1 = 13$ mil unidades (Máximo relativo).
- $A(3) = 9$ mil unidades (Mínimo absoluto).
- $A(6) = \frac{5(6) + 12}{3} = \frac{42}{3} = 14$ mil unidades (Máximo absoluto).
Comparando los valores:
- El **valor máximo** fue de **14.000 unidades** y se produjo en el **mes 6**.
- El **valor mínimo** fue de **9.000 unidades** y se produjo en el **mes 3**.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{\text{Máx: 14.000 uds (t=6), Mín: 9.000 uds (t=3)}}$$
Paso 5
Representación gráfica e interpretación
**(c) Dibujar la gráfica de la función $A(t)$. A la vista de la información proporcionada por la función $A(t)$, y considerando que el incremento de ventas solo se consigue mediante campañas publicitarias, ¿crees que la empresa contrató servicios de publicidad previos al lanzamiento? ¿En algún momento tuvo que realizar un refuerzo de la campaña publicitaria? (0,5 puntos)**
Interpretación cualitativa:
1. **Publicidad previa:** Sí, es muy probable que contrataran publicidad previa. Al inicio ($t=0$), las ventas ya son altas (12.000 unidades) y además crecen durante el primer mes. Esto indica un conocimiento previo del producto por parte del público.
2. **Refuerzo de campaña:** Sí, hubo un refuerzo en el **mes 3**. Se observa que la tendencia de ventas era decreciente entre el mes 1 y el mes 3, y de forma súbita (punto anguloso en la gráfica) cambian a una tendencia creciente constante. Este cambio brusco de tendencia sugiere una nueva acción publicitaria en ese momento.
Aquí tienes la representación gráfica de las ventas: