Cálculo de áreas y costes de renovación de un parque

**a) Representar el parque después de que esté terminada su renovación. (0,75 puntos)** Primero, identificamos los elementos que componen el parque: 1. **Límites del parque:** Es un rectángulo definido por $0 \le x \le 50$ y $0 \le y \le 90$. 2. **El sendero:** Es una recta de ecuación $g(x) = x + 10$. 3. **La silueta del lago:** Es una parábola abierta hacia abajo de ecuación $f(x) = -0,2x^2 + 11x - 70$. Para representar el lago, calculamos los puntos de corte entre la curva y la recta, ya que delimitan su extensión: $$-0,2x^2 + 11x - 70 = x + 10$$ $$-0,2x^2 + 10x - 80 = 0$$ Multiplicamos por $-5$ para simplificar: $$x^2 - 50x + 400 = 0$$ Usamos la fórmula cuadrática: $$x = \frac{50 \pm \sqrt{50^2 - 4 \cdot 400}}{2} = \frac{50 \pm \sqrt{2500 - 1600}}{2} = \frac{50 \pm 30}{2}$$ Obtenemos $x_1 = 10$ y $x_2 = 40$. 💡 **Tip:** El lago existe en el intervalo donde la curva está por encima de la recta, es decir, entre $x=10$ y $x=40$.

**b) Calcular la superficie del lago. (1 punto)** La superficie del lago es el área comprendida entre la función de la silueta $f(x) = -0,2x^2 + 11x - 70$ y el sendero $g(x) = x + 10$ en el intervalo $[10, 40]$. El área $A_L$ se calcula como: $$A_L = \int_{10}^{40} (f(x) - g(x)) \, dx = \int_{10}^{40} (-0,2x^2 + 11x - 70 - (x + 10)) \, dx$$ Simplificamos el integrando: $$A_L = \int_{10}^{40} (-0,2x^2 + 10x - 80) \, dx$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para hallar el área entre dos funciones $f$ y $g$ donde $f(x) \ge g(x)$, usamos $\int (f(x) - g(x)) dx$.

Calculamos la primitiva y aplicamos la Regla de Barrow: $$\int (-0,2x^2 + 10x - 80) \, dx = -\frac{0,2x^3}{3} + \frac{10x^2}{2} - 80x = -\frac{x^3}{15} + 5x^2 - 80x$$ Evaluamos en los límites: $$F(40) = -\frac{40^3}{15} + 5(40^2) - 80(40) = -\frac{64000}{15} + 8000 - 3200 = -\frac{12800}{3} + 4800 = \frac{-12800 + 14400}{3} = \frac{1600}{3}$$ $$F(10) = -\frac{10^3}{15} + 5(10^2) - 80(10) = -\frac{1000}{15} + 500 - 800 = -\frac{200}{3} - 300 = \frac{-200 - 900}{3} = -\frac{1100}{3}$$ Restamos los valores: $$A_L = F(40) - F(10) = \frac{1600}{3} - \left( -\frac{1100}{3} \right) = \frac{2700}{3} = 900 \text{ m}^2$$ ✅ **Resultado (Superficie del lago):** $$\boxed{A_L = 900 \text{ m}^2}$$

**c) Calcular el coste de renovación del parque... (0,75 puntos)** Primero dividimos el parque (rectángulo de $50 \times 90 = 4500 \text{ m}^2$) en dos zonas según el sendero $y = x + 10$. **Zona sur (Césped):** Es el área bajo la recta $y = x + 10$ desde $x=0$ hasta $x=50$ dentro del parque. $$A_{sur} = \int_{0}^{50} (x + 10) \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} + 10x \right]_0^{50} = \left( \frac{2500}{2} + 500 \right) - 0 = 1250 + 500 = 1750 \text{ m}^2$$ **Zona norte total:** Es el resto del parque. $$A_{norte\,total} = 4500 - 1750 = 2750 \text{ m}^2$$ **Zona de flores:** Es la zona norte menos el lago (que ya está calculado). $$A_{flores} = A_{norte\,total} - A_{lago} = 2750 - 900 = 1850 \text{ m}^2$$ 💡 **Tip:** También podrías calcular el área sur geométricamente como un trapecio de altura 50 y bases $y(0)=10$ e $y(50)=60$: $\text{Área} = \frac{10+60}{2} \cdot 50 = 1750$.

Aplicamos los costes por metro cuadrado proporcionados: 1. **Coste Lago:** $900 \text{ m}^2 \cdot 1000 \text{ €/m}^2 = 900.000 \text{ €}$ 2. **Coste Flores:** $1850 \text{ m}^2 \cdot 180 \text{ €/m}^2 = 333.000 \text{ €}$ 3. **Coste Césped:** $1750 \text{ m}^2 \cdot 110 \text{ €/m}^2 = 192.500 \text{ €}$ **Coste Total:** $$C_T = 900.000 + 333.000 + 192.500 = 1.425.500 \text{ €}$$ ✅ **Resultado (Coste de renovación):** $$\boxed{C_T = 1.425.500 \text{ €}}$$