Optimización de la reparación de aparatos eléctricos

**a) Formular el correspondiente problema de programación lineal (1 punto).** En primer lugar, definimos las variables de decisión del problema: - $x$: número de aparatos de tipo A reparados. - $y$: número de aparatos de tipo B reparados. A continuación, organizamos los datos en las restricciones: 1. **Componentes electrónicas:** Cada aparato A usa 3 y cada B usa 5, con un máximo de 480. $$3x + 5y \le 480$$ 2. **Horas de trabajo:** Cada aparato A requiere 4h y cada B requiere 6h, con un máximo de 600h. $$4x + 6y \le 600$$ 3. **Restricciones de no negatividad:** No se pueden reparar cantidades negativas de aparatos. $$x \ge 0, \quad y \ge 0$$ Finalmente, definimos la **función objetivo**, que representa el beneficio total a maximizar: $$f(x, y) = 80x + 130y$$ 💡 **Tip:** Es fundamental leer bien las unidades y asegurar que todas las limitaciones se expresen como desigualdades (restricciones). ✅ **Formulación:** $$\boxed{\begin{aligned} \text{Maximizar } & f(x,y) = 80x + 130y \\ \text{Sujeto a: } & 3x + 5y \le 480 \\ & 4x + 6y \le 600 \\ & x, y \ge 0 \end{aligned}}$$

**b) Representar la región factible e indicar cuáles son sus vértices. (0,75 puntos)** Para representar la región, obtenemos los puntos de corte con los ejes de las rectas asociadas a las restricciones: 1. Para $3x + 5y = 480$: - Si $x = 0 \implies 5y = 480 \implies y = 96$. Punto $(0, 96)$. - Si $y = 0 \implies 3x = 480 \implies x = 160$. Punto $(160, 0)$. 2. Para $4x + 6y = 600$ (o simplificada $2x + 3y = 300$): - Si $x = 0 \implies 6y = 600 \implies y = 100$. Punto $(0, 100)$. - Si $y = 0 \implies 4x = 600 \implies x = 150$. Punto $(150, 0)$. El vértice de intersección se halla resolviendo el sistema: $$\begin{cases} 3x + 5y = 480 \\ 4x + 6y = 600 \end{cases}$$ Multiplicamos la primera por 2 y la segunda por -1.5 (o simplificamos): $$2x + 3y = 300 \implies 2x = 300 - 3y \implies x = 150 - 1.5y$$ Sustituyendo en la primera: $$3(150 - 1.5y) + 5y = 480 \implies 450 - 4.5y + 5y = 480 \implies 0.5y = 30 \implies y = 60$$ Calculamos $x$: $$x = 150 - 1.5(60) = 150 - 90 = 60$$ Los vértices son: **$O(0,0)$**, **$A(0, 96)$**, **$B(60, 60)$** y **$C(150, 0)$**. 💡 **Tip:** El punto $(160,0)$ y el $(0,100)$ quedan fuera de la región común al ser limitados por la otra restricción.

A continuación se muestra la región factible (zona sombreada) delimitada por las restricciones y los vértices calculados:

**c) ¿Cuántos aparatos de cada tipo se deben reparar para maximizar el beneficio? ¿Cuál es el valor de dicho beneficio? (0,75 puntos)** Evaluamos la función objetivo $f(x, y) = 80x + 130y$ en cada uno de los vértices de la región factible: - En $O(0, 0)$: $f(0, 0) = 80(0) + 130(0) = 0$ € - En $A(0, 96)$: $f(0, 96) = 80(0) + 130(96) = 12480$ € - En $B(60, 60)$: $f(60, 60) = 80(60) + 130(60) = 4800 + 7800 = 12600$ € - En $C(150, 0)$: $f(150, 0) = 80(150) + 130(0) = 12000$ € Comparamos los resultados y observamos que el valor máximo es **12600 euros**. 💡 **Tip:** Según el Teorema Fundamental de la Programación Lineal, si la solución óptima es única, debe encontrarse en un vértice de la región factible. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Se deben reparar 60 aparatos de tipo A y 60 de tipo B para un beneficio máximo de 12600 euros.}}$$