Álgebra 2025 Canarias
Sistema de ecuaciones en cafetería
4B. En la cafetería “Desayuna como un mencey” ofrecen desayunos ecológicos y saludables, compuestos por batidos de frutas, yogur con cereales y tortitas. Tres amigos han ido en tres ocasiones a desayunar. El primer día decidieron probar entre los tres dos batidos, una tortita y un yogur con cereales, pagando un total de 12,25 euros. Otro día aprovecharon que las tortitas tenían un descuento del 20% y pidieron 3, acompañándolas con dos batidos, pagando un total de 13,90 euros. Ayer descubrieron que si pedían 3 batidos y 3 yogures con cereales pagarían un euro menos que si pedían 2 batidos, 2 yogures y 2 tortitas.
a) Plantear el correspondiente sistema de ecuaciones. (1,5 puntos)
b) ¿Qué precio tienen los batidos, yogures y las tortitas en esta cafetería? (1 punto)
Paso 1
Definición de variables
**a) Plantear el correspondiente sistema de ecuaciones. (1,5 puntos)**
En primer lugar, debemos identificar las incógnitas del problema, que son los precios unitarios de cada producto:
- $x$: Precio de un batido de frutas (en euros).
- $y$: Precio de un yogur con cereales (en euros).
- $z$: Precio de una tortita (en euros).
💡 **Tip:** Es fundamental definir claramente qué representa cada variable antes de escribir las ecuaciones para no confundir los términos después.
Paso 2
Traducción de los enunciados a ecuaciones
Analizamos cada una de las situaciones descritas para obtener las tres ecuaciones:
1. **Primer día:** Dos batidos, una tortita y un yogur costaron 12,25 €.
$$2x + y + z = 12,25$$
2. **Otro día:** Tres tortitas con un 20% de descuento y dos batidos costaron 13,90 €.
Si una tortita tiene un descuento del 20%, pagamos el 80% de su precio, es decir, $0,8z$. Tres tortitas costarán $3 \cdot (0,8z) = 2,4z$.
$$2x + 2,4z = 13,90$$
3. **Ayer:** 3 batidos y 3 yogures cuestan 1 € menos que 2 batidos, 2 yogures y 2 tortitas.
$$3x + 3y = (2x + 2y + 2z) - 1$$
💡 **Tip:** Recuerda que aplicar un descuento del $20\%$ equivale a multiplicar el precio original por $0,80$ ($1 - 0,20 = 0,80$).
Paso 3
Simplificación y planteamiento del sistema
Simplificamos la tercera ecuación agrupando los términos con incógnitas a la izquierda:
$$3x - 2x + 3y - 2y - 2z = -1 \implies x + y - 2z = -1$$
El sistema de ecuaciones lineales resultante es:
$$\begin{cases} 2x + y + z = 12,25 \\ 2x + 2,4z = 13,90 \\ x + y - 2z = -1 \end{cases}$$
✅ **Resultado (Sistema planteado):**
$$\boxed{\begin{cases} 2x + y + z = 12,25 \\ 2x + 2,4z = 13,90 \\ x + y - 2z = -1 \end{cases}}$$
Paso 4
Resolución del sistema por el método de sustitución
**b) ¿Qué precio tienen los batidos, yogures y las tortitas en esta cafetería? (1 punto)**
Podemos despejar $x$ de la segunda ecuación, ya que solo tiene dos incógnitas:
$$2x + 2,4z = 13,90 \implies 2x = 13,90 - 2,4z \implies x = 6,95 - 1,2z$$
Ahora sustituimos esta expresión de $x$ en la primera y la tercera ecuación:
- En la 1ª: $2(6.95 - 1,2z) + y + z = 12,25$
$$13,90 - 2,4z + y + z = 12,25 \implies y - 1,4z = -1,65 \quad [Ec. 4]$$
- En la 3ª: $(6,95 - 1,2z) + y - 2z = -1$
$$y - 3,2z = -7,95 \quad [Ec. 5]$$
💡 **Tip:** El método de sustitución es muy útil cuando una de las ecuaciones ya tiene pocas variables o es fácil despejar una de ellas.
Paso 5
Cálculo del precio de las tortitas (z)
Tenemos ahora un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas ($y$ y $z$):
$$\begin{cases} y - 1,4z = -1,65 \\ y - 3,2z = -7,95 \end{cases}$$
Restamos la segunda a la primera para eliminar $y$:
$$(y - y) + (-1,4z - (-3,2z)) = -1,65 - (-7,95)$$
$$1,8z = 6,30$$
$$z = \frac{6,30}{1,8} = 3,5$$
El precio de una **tortita** es **3,50 €**.
$$\boxed{z = 3,5}$$
Paso 6
Cálculo del precio de yogures (y) y batidos (x)
Sustituimos el valor de $z = 3,5$ en la ecuación $[Ec. 4]$ para hallar $y$:
$$y - 1,4(3,5) = -1,65 \implies y - 4,9 = -1,65 \implies y = 3,25$$
El precio de un **yogur** es **3,25 €**.
Finalmente, sustituimos $z = 3,5$ en la expresión que despejamos para $x$:
$$x = 6,95 - 1,2(3,5) = 6,95 - 4,2 = 2,75$$
El precio de un **batido** es **2,75 €**.
✅ **Resultado final:**
$$\boxed{\text{Batido: } 2,75\text{ €; Yogur: } 3,25\text{ €; Tortita: } 3,50\text{ €}}$$