Probabilidad y Estadística 2025 Madrid
Distribución normal e inferencia sobre proporciones
EJERCICIO 1 (2,5 puntos) Responda los dos apartados. Este ejercicio no tiene opcionalidad.
La empresa tecnológica Pear acaba de lanzar la nueva versión para 2025 de su smartphone insignia, el P25. En la red social Rettiwt se ha generado una alta expectación y los primeros compradores del P25 han comenzado a publicar fotos con sus dispositivos y sus opiniones. La mayoría de estas opiniones son positivas, pero hay una minoría de usuarios que reporta un calentamiento excesivo del P25 que genera en pantalla el mensaje de aviso “El P25 necesita enfriarse para poder usarlo”.
Con el objetivo de recabar más información para su próximo vídeo, el youtuber @solo_reviews ha abierto un hilo para solicitar a los compradores verificados del P25 que reporten si han experimentado o no sobrecalentamiento repentino en sus smartphones, entendiendo este como el que origina el aviso en condiciones normales de uso. Un total de 288 compradores verificados responden en el hilo, de los cuales 20 reportan haber visto el mensaje de enfriamiento necesario en condiciones de uso normales. Dado el perfil de los seguidores de @solo_reviews, se asume que esta es una muestra aleatoria simple.
Ante el ruido generado en las redes sociales, la empresa Pear lanza el siguiente comunicado en Rettiwt:
En Pear aclaramos: no hay problemas generalizados en nuestro nuevo P25. El sobrecalentamiento afecta al 2 % de dispositivos al estar exclusivamente limitado a un lote defectuoso de un proveedor. Estamos contactando a los clientes afectados para ofrecer una solución inmediata. #PearSupport #P25
1.a) (1,25 puntos) Asumiendo que el comunicado de Pear es cierto, calcule, aproximando por la distribución normal adecuada, la probabilidad de que el número de smartphones defectuosos reportados en el hilo de @solo_reviews hubiese sido superior o igual a 11.
1.b) (1,25 puntos) Obtenga un intervalo del 99 % de confianza para la proporción de smartphones defectuosos a partir del hilo de @solo_reviews. ¿Es cuestionable la veracidad del comunicado de Pear?
Paso 1
Definir la variable aleatoria y sus parámetros
**1.a) (1,25 puntos) Asumiendo que el comunicado de Pear es cierto, calcule, aproximando por la distribución normal adecuada, la probabilidad de que el número de smartphones defectuosos reportados en el hilo de @solo_reviews hubiese sido superior o igual a 11.**
Primero, definimos la variable aleatoria $X$ como el número de smartphones con sobrecalentamiento en una muestra de $n=288$.
Si el comunicado de Pear es cierto, la probabilidad de que un teléfono sea defectuoso es $p = 0.02$ (el $2\%$). Por tanto, la probabilidad de que no lo sea es $q = 1 - p = 0.98$.
La variable $X$ sigue una distribución binomial:
$$X \sim B(n, p) = B(288, 0.02)$$
💡 **Tip:** Una distribución binomial $B(n, p)$ cuenta el número de 'éxitos' en $n$ ensayos independientes, donde la probabilidad de éxito es $p$.
Paso 2
Justificar la aproximación a la normal
Para poder usar la distribución normal, debemos comprobar si se cumplen las condiciones de aproximación de De Moivre-Laplace:
1. $n \cdot p = 288 \cdot 0.02 = 5.76 \gt 5$
2. $n \cdot q = 288 \cdot 0.98 = 282.24 \gt 5$
Como ambas son mayores que 5, podemos aproximar $X$ por una variable normal $X'$ con los siguientes parámetros:
- Media: $\mu = n \cdot p = 5.76$
- Desviación típica: $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q} = \sqrt{288 \cdot 0.02 \cdot 0.98} = \sqrt{5.6448} \approx 2.3759$
Por tanto, aproximamos por $X' \sim N(5.76, 2.3759)$.
$$\boxed{X' \sim N(5.76, 2.3759)}$$
Paso 3
Cálculo de la probabilidad con corrección de continuidad
Queremos calcular la probabilidad de que el número de reportes sea superior o igual a 11, es decir, $P(X \ge 11)$.
Al pasar de una variable discreta (Binomial) a una continua (Normal), aplicamos la **corrección de continuidad de Yates**:
$$P(X \ge 11) \approx P(X' \ge 10.5)$$
Ahora tipificamos la variable para poder usar la tabla de la normal estándar $Z \sim N(0, 1)$:
$$Z = \frac{X' - \mu}{\sigma} \implies P\left(Z \ge \frac{10.5 - 5.76}{2.3759}\right)$$
$$P(Z \ge \frac{4.74}{2.3759}) = P(Z \ge 1.995) \approx P(Z \ge 2.00)$$
💡 **Tip:** Recuerda que al tipificar restamos la media y dividimos por la desviación típica: $Z = (X-\mu)/\sigma$.
Paso 4
Resultado final del apartado a
Calculamos la probabilidad final usando las propiedades de la tabla normal:
$$P(Z \ge 2.00) = 1 - P(Z \lt 2.00)$$
Buscamos en la tabla el valor para $2.00$, que es $0.9772$:
$$P(Z \ge 2.00) = 1 - 0.9772 = 0.0228$$
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(X \ge 11) \approx 0.0228}$$
La probabilidad de encontrar 11 o más reportes, si lo que dice Pear es cierto, es de un $2.28\%$.
Paso 5
Identificar datos para el intervalo de confianza
**1.b) (1,25 puntos) Obtenga un intervalo del 99 % de confianza para la proporción de smartphones defectuosos a partir del hilo de @solo_reviews. ¿Es cuestionable la veracidad del comunicado de Pear?**
Datos de la muestra del hilo:
- Tamaño de la muestra: $n = 288$
- Casos reportados: $x = 20$
- Proporción muestral: $\hat{p} = \frac{20}{288} \approx 0.0694$
- Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.99 \implies \alpha = 0.01$
Calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ para un nivel de confianza del $99\%$:
Como el área central es $0.99$, el área en cada cola es $\alpha/2 = 0.005$. Buscamos el valor de $z$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 0.995$. Mirando la tabla:
$$z_{\alpha/2} = 2.575$$
💡 **Tip:** Los valores críticos más comunes son $1.645$ (90%), $1.96$ (95%) y $2.575$ (99%).
Paso 6
Calcular el intervalo de confianza
La fórmula del intervalo de confianza para la proporción es:
$$I.C. = \left( \hat{p} - z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}}, \hat{p} + z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}} \right)$$
Calculamos el error máximo admisible ($E$):
$$E = 2.575 \cdot \sqrt{\frac{0.0694 \cdot (1 - 0.0694)}{288}} = 2.575 \cdot \sqrt{\frac{0.0694 \cdot 0.9306}{288}}$$
$$E = 2.575 \cdot \sqrt{0.0002243} = 2.575 \cdot 0.01497 \approx 0.03856$$
Ahora formamos el intervalo:
$$L_{inf} = 0.0694 - 0.0386 = 0.0308$$
$$L_{sup} = 0.0694 + 0.0386 = 0.1080$$
✅ **Resultado (Intervalo):**
$$\boxed{I.C._{99\%} = (0.0308, 0.1080)}$$
Paso 7
Conclusión sobre la veracidad del comunicado
Para analizar la veracidad del comunicado, comparamos la proporción afirmada por Pear ($p = 0.02$) con nuestro intervalo de confianza calculado a partir de la muestra del youtuber.
Observamos que el valor $0.02$ **no pertenece** al intervalo $(0.0308, 0.1080)$.
Dado que el valor afirmado por la empresa ($2\%$) es inferior al límite inferior de nuestro intervalo de confianza al $99\%$ ($3.08\%$), podemos concluir que **sí es cuestionable** la veracidad del comunicado de Pear, ya que la evidencia de la muestra sugiere que la proporción real de fallos es significativamente mayor.
💡 **Tip:** Si el valor poblacional hipotético cae fuera del intervalo de confianza, rechazamos la hipótesis o cuestionamos la veracidad de dicho valor.