Programación lineal: Región factible y optimización

**2.2.a) (2 puntos) Represente gráficamente la región $S$ determinada por las restricciones y calcule las coordenadas de sus vértices.** Primero, transformamos las inecuaciones del sistema en igualdades para obtener las rectas que delimitan la región factible $S$: 1. $r_1: x = -6$ (Recta vertical) 2. $r_2: y = 0$ (Eje de abscisas) 3. $r_3: -x + y = 8 \implies y = x + 8$ 4. $r_4: x + 4y = 12 \implies y = \dfrac{12 - x}{4}$ 5. $r_5: x + y = 6 \implies y = 6 - x$ Cada inecuación define un semiplano. La intersección de todos ellos formará nuestra región $S$. 💡 **Tip:** Para saber hacia qué lado de la recta sombrear, toma un punto de prueba (como el $(0,0)$ si no pasa por la recta) y comprueba si cumple la desigualdad.

Los vértices se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones formados por las intersecciones de las rectas que delimitan el recinto: * **Vértice A ($r_1 \cap r_2$):** $\begin{cases} x = -6 \\ y = 0 \end{cases} \implies \mathbf{A(-6, 0)}$ * **Vértice B ($r_1 \cap r_3$):** $\begin{cases} x = -6 \\ y = x + 8 \end{cases} \implies y = -6 + 8 = 2 \implies \mathbf{B(-6, 2)}$ * **Vértice C ($r_3 \cap r_4$):** $\begin{cases} -x + y = 8 \\ x + 4y = 12 \end{cases} \xrightarrow{\text{Sumando}} 5y = 20 \implies y = 4$ Sustituyendo: $x = 4 - 8 = -4 \implies \mathbf{C(-4, 4)}$ * **Vértice D ($r_4 \cap r_5$):** $\begin{cases} x + 4y = 12 \\ x + y = 6 \end{cases} \xrightarrow{\text{Restando}} 3y = 6 \implies y = 2$ Sustituyendo: $x = 6 - 2 = 4 \implies \mathbf{D(4, 2)}$ * **Vértice E ($r_5 \cap r_2$):** $\begin{cases} x + y = 6 \\ y = 0 \end{cases} \implies x = 6 \implies \mathbf{E(6, 0)}$ ✅ **Resultado (Vértices):** $$\boxed{A(-6, 0), B(-6, 2), C(-4, 4), D(4, 2), E(6, 0)}$$

Dibujamos las rectas y sombreamos la región común que cumple todas las restricciones. Al ser desigualdades del tipo $\le$ o $\ge$, la frontera está incluida en la región (región cerrada y acotada). Aquí puedes ver la representación gráfica interactiva de la región factible $S$:

**2.2.b) (0,5 puntos) Se desea maximizar el doble de $y$ menos el triple de $x$ en $S$. Indique el valor máximo y el punto de la región en el cual se alcanza.** Definimos la función objetivo $f(x, y) = 2y - 3x$. Según el teorema fundamental de la programación lineal, el máximo de una función lineal en un polígono convexo se alcanza en uno de sus vértices. Calculamos el valor de la función en cada vértice: * $f(A) = f(-6, 0) = 2(0) - 3(-6) = 0 + 18 = 18$ * $f(B) = f(-6, 2) = 2(2) - 3(-6) = 4 + 18 = 22$ * $f(C) = f(-4, 4) = 2(4) - 3(-4) = 8 + 12 = 20$ * $f(D) = f(4, 2) = 2(2) - 3(4) = 4 - 12 = -8$ * $f(E) = f(6, 0) = 2(0) - 3(6) = 0 - 18 = -18$ Comparando los resultados, el valor máximo es **22**. 💡 **Tip:** Si la función objetivo fuera paralela a uno de los lados, el máximo se alcanzaría en todo el segmento que une dos vértices, pero en este caso el máximo es único. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{El valor máximo es 22 y se alcanza en el punto } B(-6, 2)}$$