Primitivas, áreas y rectas tangentes con parámetros

**3.1.a) (1 punto) Calcule el valor de $a$ para que la primitiva de $f(x)$, $F(x)$, cumpla que $F(0) = 0$ y $F(1) = 1$.** Primero, expresamos la función $f(x)$ de forma polinómica para integrar más fácilmente: $$f(x) = x(x^2 + a) = x^3 + ax.$$ Ahora, calculamos su primitiva general $F(x)$ integrando la función: $$F(x) = \int (x^3 + ax) \, dx = \frac{x^4}{4} + a \frac{x^2}{2} + C.$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la integral de una potencia es $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$. Como $a$ es una constante, sale fuera de la integral.

Aplicamos las condiciones dadas en el enunciado: 1. **Condición $F(0) = 0$:** $$F(0) = \frac{0^4}{4} + \frac{a \cdot 0^2}{2} + C = 0 \implies C = 0.$$ Por tanto, nuestra función es $F(x) = \frac{x^4}{4} + \frac{ax^2}{2}$. 2. **Condición $F(1) = 1$:** $$F(1) = \frac{1^4}{4} + \frac{a \cdot 1^2}{2} = 1.$$ Resolvemos la ecuación para $a$: $$\frac{1}{4} + \frac{a}{2} = 1 \implies \frac{a}{2} = 1 - \frac{1}{4} \implies \frac{a}{2} = \frac{3}{4}.$$ Multiplicando por 2 en ambos lados: $$a = \frac{3 \cdot 2}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}.$$ Como el enunciado indicaba que $a > 0$, el valor obtenido es válido. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = \frac{3}{2}}$$

**3.1.b) (0,5 puntos) Para $a = \frac{3}{2}$, obtenga el área del recinto delimitado por $f(x)$, el eje horizontal y las rectas verticales $x = 0$ y $x = 2$.** Con $a = \frac{3}{2}$, la función es $f(x) = x^3 + \frac{3}{2}x$. Para calcular el área, debemos ver si la función corta al eje horizontal ($f(x)=0$) en el intervalo $(0, 2)$: $$x(x^2 + \frac{3}{2}) = 0.$$ - Una solución es $x = 0$ (extremo del intervalo). - La ecuación $x^2 + \frac{3}{2} = 0$ no tiene soluciones reales porque $x^2 = -\frac{3}{2}$ es imposible. Además, para $x \in (0, 2)$, $f(x)$ es siempre positiva. Por tanto, el área es simplemente la integral definida. 💡 **Tip:** Si la función cambiara de signo en el intervalo, tendríamos que dividir la integral en varios trozos usando el valor absoluto.

Calculamos el área $A$ mediante la regla de Barrow: $$A = \int_{0}^{2} (x^3 + \frac{3}{2}x) \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} + \frac{3x^2}{4} \right]_{0}^{2}.$$ Sustituimos los límites de integración: $$A = \left( \frac{2^4}{4} + \frac{3 \cdot 2^2}{4} \right) - \left( \frac{0^4}{4} + \frac{3 \cdot 0^2}{4} \right)$$ $$A = \left( \frac{16}{4} + \frac{12}{4} \right) - 0 = 4 + 3 = 7.$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Área} = 7 \text{ unidades cuadradas}}$$

**3.1.c) (1 punto) Halle los valores de $a$ que hacen que la pendiente de la recta tangente a $f(x)$ en el punto $x = 1$ sea 1.** Sabemos que la pendiente de la recta tangente a una función en un punto $x = x_0$ es el valor de su derivada en dicho punto, es decir, $m = f'(x_0)$. En este caso, nos piden que $f'(1) = 1$. Calculamos la derivada de $f(x) = x^3 + ax$: $$f'(x) = 3x^2 + a.$$ Sustituimos $x = 1$: $$f'(1) = 3(1)^2 + a = 3 + a.$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada mide la tasa de variación instantánea y geométricamente representa la pendiente de la recta tangente.

Igualamos la derivada al valor de la pendiente deseada: $$3 + a = 1 \implies a = 1 - 3 \implies a = -2.$$ Sin embargo, el enunciado del problema establece una restricción inicial muy importante: **$a > 0$ es un parámetro real**. Como el valor obtenido $a = -2$ no cumple la condición $a > 0$, concluimos que no existe ningún valor de $a$ que satisfaga los requisitos del problema. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No existe ningún valor de } a > 0 \text{ tal que la pendiente sea 1}}$$