Estudio de una función a trozos: dominio, continuidad y asíntotas

**3.2.a) (0,5 puntos) Determine el dominio de $f(x)$.** Para determinar el dominio de una función definida a trozos, debemos analizar las restricciones de cada rama en su respectivo intervalo de definición. 1. **Primera rama ($x \lt 0$):** $f(x) = \dfrac{x}{2x - 1}$. El denominador se anula cuando $2x - 1 = 0 \implies x = 1/2$. Como el valor $x = 1/2$ no pertenece al intervalo de esta rama ($x \lt 0$), no genera problemas en este tramo. 2. **Segunda rama ($x \ge 0$):** $f(x) = \dfrac{4x^3 + x^2}{x^2 - 9}$. El denominador se anula cuando $x^2 - 9 = 0 \implies x^2 = 9 \implies x = \pm 3$. * $x = -3$: No pertenece al intervalo $x \ge 0$. * $x = 3$: Pertenece al intervalo $x \ge 0$. Por lo tanto, en $x = 3$ la función no está definida. 💡 **Tip:** El dominio está formado por todos los números reales excepto aquellos que anulan un denominador dentro del intervalo donde la rama está activa. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{3\} = (-\infty, 3) \cup (3, +\infty)}$$

**3.2.b) (0,5 puntos) Estudie la continuidad de $f(x)$ en $x = 0$.** Para que $f(x)$ sea continua en $x=0$, deben coincidir el valor de la función y sus límites laterales. 1. **Valor de la función:** Usamos la segunda rama ($x \ge 0$): $$f(0) = \frac{4(0)^3 + 0^2}{0^2 - 9} = \frac{0}{-9} = 0$$ 2. **Límite por la izquierda ($x \to 0^-$):** Usamos la primera rama: $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{x}{2x - 1} = \frac{0}{2(0) - 1} = \frac{0}{-1} = 0$$ 3. **Límite por la derecha ($x \to 0^+$):** Usamos la segunda rama: $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{4x^3 + x^2}{x^2 - 9} = \frac{0}{-9} = 0$$ Como $f(0) = \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = 0$, la función cumple la condición de continuidad. ✅ **Resultado:** $$\boxed{f(x) \text{ es continua en } x = 0}$$

**3.2.c) (1,5 puntos) Calcule las asíntotas de $f(x)$.** **Asíntotas Verticales (AV):** Buscamos los puntos donde la función no está definida, que es $x = 3$. $$\lim_{x \to 3} f(x) = \lim_{x \to 3} \frac{4x^3 + x^2}{x^2 - 9} = \frac{4(27) + 9}{0} = \frac{117}{0} = \infty$$ Analizamos los límites laterales en $x = 3$: - $\lim_{x \to 3^-} \frac{4x^3 + x^2}{(x-3)(x+3)} = \frac{117}{(0^-)(6)} = -\infty$ - $\lim_{x \to 3^+} \frac{4x^3 + x^2}{(x-3)(x+3)} = \frac{117}{(0^+)(6)} = +\infty$ 💡 **Tip:** Aunque $x = 1/2$ y $x = -3$ anulan denominadores de las expresiones algebraicas, no son AV porque no están en el intervalo de definición de sus respectivas ramas. ✅ **Resultado (AV):** $$\boxed{x = 3}$$

**Asíntotas Horizontales (AH):** Debemos estudiar los límites en $-\infty$ y $+\infty$ por separado debido a la definición a trozos. 1. **En $-\infty$ (Rama 1):** $$\lim_{x \to -\infty} \frac{x}{2x - 1} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}$$ Existe una asíntota horizontal $y = 1/2$ por la izquierda. 2. **En $+\infty$ (Rama 2):** $$\lim_{x \to +\infty} \frac{4x^3 + x^2}{x^2 - 9} = \lim_{x \to +\infty} \frac{4x^3}{x^2} = \lim_{x \to +\infty} 4x = +\infty$$ No existe asíntota horizontal por la derecha. ✅ **Resultado (AH):** $$\boxed{y = \frac{1}{2} \text{ cuando } x \to -\infty}$$

**Asíntotas Oblicuas (AO):** Solo buscamos en $+\infty$, ya que en $-\infty$ ya hay una horizontal. La ecuación es $y = mx + n$. 1. **Cálculo de $m$:** $$m = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{4x^3 + x^2}{x(x^2 - 9)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{4x^3 + x^2}{x^3 - 9x} = 4$$ 2. **Cálculo de $n$:** $$n = \lim_{x \to +\infty} (f(x) - mx) = \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{4x^3 + x^2}{x^2 - 9} - 4x \right)$$ Realizamos la resta: $$n = \lim_{x \to +\infty} \frac{4x^3 + x^2 - 4x(x^2 - 9)}{x^2 - 9} = \lim_{x \to +\infty} \frac{4x^3 + x^2 - 4x^3 + 36x}{x^2 - 9} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 + 36x}{x^2 - 9} = 1$$ Por tanto, la asíntota oblicua es $y = 4x + 1$. ✅ **Resultado (AO):** $$\boxed{y = 4x + 1 \text{ cuando } x \to +\infty}$$