Probabilidad e Independencia de Sucesos

**4.1.a) (0,75 puntos) Calcule la probabilidad de que no ocurra $A$ o no ocurra $B$.** Primero, extraemos y deducimos los datos básicos de los sucesos $A$ y $B$: 1. $P(A) = 0,4$. 2. $P(\overline{B}) = 0,7 \implies P(B) = 1 - P(\overline{B}) = 1 - 0,7 = 0,3$. Como el enunciado indica que $A$ y $B$ son **independientes**, la probabilidad de su intersección es el producto de sus probabilidades: $$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = 0,4 \cdot 0,3 = 0,12.$$ La pregunta nos pide la probabilidad de que "no ocurra $A$ o no ocurra $B$", lo cual se traduce simbólicamente como $P(\overline{A} \cup \overline{B})$. Aplicando las **Leyes de De Morgan**, sabemos que: $$\overline{A} \cup \overline{B} = \overline{A \cap B}$$ Por tanto: $$P(\overline{A} \cup \overline{B}) = P(\overline{A \cap B}) = 1 - P(A \cap B) = 1 - 0,12 = 0,88.$$ 💡 **Tip:** Recuerda que las Leyes de De Morgan son fundamentales: el complementario de la intersección es la unión de los complementarios. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\overline{A} \cup \overline{B}) = 0,88}$$

**4.1.b) (0,75 puntos) Determine la probabilidad de que $A$ y $\overline{B}$ ocurran simultáneamente.** Se nos pide calcular $P(A \cap \overline{B})$. Tenemos dos formas de razonar esto: **Método 1 (Propiedad de la diferencia):** Sabemos que $P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap \overline{B})$. Despejando: $$P(A \cap \overline{B}) = P(A) - P(A \cap B) = 0,4 - 0,12 = 0,28.$$ **Método 2 (Independencia):** Si dos sucesos $A$ y $B$ son independientes, entonces sus complementarios también son independientes con respecto al otro suceso. Es decir, $A$ y $\overline{B}$ son independientes. $$P(A \cap \overline{B}) = P(A) \cdot P(\overline{B}) = 0,4 \cdot 0,7 = 0,28.$$ 💡 **Tip:** Si $A$ y $B$ son independientes, entonces $(A, \overline{B})$, $(\overline{A}, B)$ y $(\overline{A}, \overline{B})$ también lo son. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A \cap \overline{B}) = 0,28}$$

**4.1.c) (1 punto) Obtenga $P(C | A \cap B)$.** Por la definición de probabilidad condicionada: $$P(C | A \cap B) = \frac{P(C \cap (A \cap B))}{P(A \cap B)}$$ Ya conocemos el denominador: $P(A \cap B) = 0,12$. Para hallar el numerador $P(A \cap B \cap C)$, utilizamos el dato de la probabilidad condicionada que nos da el enunciado: $P(A \cap B | C) = 0,2$. Usando de nuevo la definición de probabilidad condicionada: $$P(A \cap B | C) = \frac{P(A \cap B \cap C)}{P(C)} = 0,2$$ $$P(A \cap B \cap C) = 0,2 \cdot P(C) = 0,2 \cdot 0,5 = 0,1.$$ Finalmente, sustituimos en la fórmula original: $$P(C | A \cap B) = \frac{0,1}{0,12} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6} \approx 0,8333.$$ 💡 **Tip:** En problemas con tres sucesos, no te asustes por la notación. Trata a $(A \cap B)$ como si fuera un único suceso "D" para aplicar las fórmulas habituales. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(C | A \cap B) = \frac{5}{6} \approx 0,8333}$$