Probabilidad y Estadística 2025 Madrid
Probabilidad condicionada e insuficiencia renal en gatos
Pregunta 4.2
En una clínica veterinaria se utiliza una prueba médica para detectar la insuficiencia renal en gatos adultos. Se sabe lo siguiente:
- El porcentaje de gatos adultos con insuficiencia renal es del 5 %.
- Si el gato adulto tiene insuficiencia renal, la prueba da positivo el 90 % de las veces.
- Si el gato adulto no tiene insuficiencia renal, la prueba da positivo el 10 % de las veces.
4.2.a) (1,25 puntos) Calcule la probabilidad de que un gato adulto seleccionado al azar dé un resultado negativo en la prueba.
4.2.b) (1,25 puntos) La prueba en un gato adulto ha resultado positiva. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga insuficiencia renal?
Paso 1
Definición de sucesos y esquema del problema
**4.2.a) (1,25 puntos) Calcule la probabilidad de que un gato adulto seleccionado al azar dé un resultado negativo en la prueba.**
En primer lugar, definimos los sucesos que intervienen en el problema para organizar la información:
- $R$: El gato tiene insuficiencia renal.
- $\bar{R}$: El gato no tiene insuficiencia renal (suceso contrario).
- $+$: El resultado de la prueba es positivo.
- $-$: El resultado de la prueba es negativo (suceso contrario).
Extraemos los datos del enunciado en términos de probabilidad:
- $P(R) = 0,05$ (el $5\%$ de los gatos).
- $P(\bar{R}) = 1 - 0,05 = 0,95$ (el $95\%$ de los gatos).
- $P(+|R) = 0,90$: Probabilidad de que la prueba sea positiva si el gato tiene la enfermedad.
- $P(-|R) = 1 - 0,90 = 0,10$: Probabilidad de que la prueba sea negativa si el gato tiene la enfermedad.
- $P(+|\bar{R}) = 0,10$: Probabilidad de que la prueba sea positiva si el gato NO tiene la enfermedad.
- $P(-|\bar{R}) = 1 - 0,10 = 0,90$: Probabilidad de que la prueba sea negativa si el gato NO tiene la enfermedad.
💡 **Tip:** En los ejercicios de probabilidad compuesta, siempre es muy útil dibujar un **diagrama de árbol** para visualizar todos los caminos posibles.
Paso 2
Cálculo de la probabilidad de resultado negativo
Para hallar la probabilidad de que un gato dé negativo, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. Un gato puede dar negativo por dos vías: siendo enfermo o siendo sano.
La fórmula es:
$$P(-) = P(R \cap -) + P(\bar{R} \cap -)$$
Utilizando las probabilidades condicionadas:
$$P(-) = P(R) \cdot P(-|R) + P(\bar{R}) \cdot P(-|\bar{R})$$
Sustituimos los valores obtenidos del árbol:
$$P(-) = (0,05 \cdot 0,10) + (0,95 \cdot 0,90)$$
$$P(-) = 0,005 + 0,855$$
$$P(-) = 0,86$$
💡 **Tip:** Fíjate que el $86\%$ de los gatos darán negativo, lo cual tiene sentido ya que la gran mayoría de la población está sana ($95\%$) y en esos casos la prueba suele acertar ($90\%$).
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(-) = 0,86}$$
Paso 3
Cálculo de la probabilidad a posteriori (Bayes)
**4.2.b) (1,25 puntos) La prueba en un gato adulto ha resultado positiva. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga insuficiencia renal?**
En este apartado nos piden una probabilidad condicionada "a la inversa": sabemos que el resultado ha sido positivo y queremos saber la probabilidad de que el gato realmente esté enfermo. Para ello usamos el **Teorema de Bayes**.
La fórmula es:
$$P(R|+) = \frac{P(R \cap +)}{P(+)}$$
Primero necesitamos $P(+)$, que es el suceso contrario a $P(-)$ calculado en el apartado anterior:
$$P(+) = 1 - P(-) = 1 - 0,86 = 0,14$$
(También se podría calcular como $0,05 \cdot 0,90 + 0,95 \cdot 0,10 = 0,045 + 0,095 = 0,14$).
Ahora aplicamos Bayes:
$$P(R|+) = \frac{P(R) \cdot P(+|R)}{P(+)} = \frac{0,05 \cdot 0,90}{0,14}$$
$$P(R|+) = \frac{0,045}{0,14} = \frac{45}{140}$$
Simplificando la fracción (dividiendo entre 5):
$$P(R|+) = \frac{9}{28} \approx 0,3214$$
💡 **Tip:** El Teorema de Bayes se utiliza siempre que nos dan el resultado final (el gato dio positivo) y nos preguntan por la causa inicial (que tenga insuficiencia renal).
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(R|+) = \frac{9}{28} \approx 0,3214}$$