Álgebra 2025 Madrid
Sistema de ecuaciones: Venta de sandías
EJERCICIO 1 (2,5 puntos) Responda los dos apartados. Este ejercicio no tiene opcionalidad.
El dueño de una frutería quiere alquilar una cámara frigorífica para la campaña de sandías del verano. Entre las diferentes cámaras que puede alquilar cercanas a su frutería, la que más le convence es una que tiene capacidad para guardar 2700 kilos de sandía que es, según sus datos de años anteriores, la cantidad de kilos que vende cualquier semana de la campaña. Las sandías que vende son de tres variedades: sandía verde rayada, sandía negra sin pepitas y sandía negra con pepitas. La sandía rayada es la menos apreciada por su clientela, por ello decide ponerle el precio más bajo y la venderá a 1,25 euros el kilo. Las sandías negras son las más demandadas entre su clientela, pero entre estas dos variedades es más fácil vender la variedad sin pepitas. Por esta razón, determina que el precio de la sandía negra sin pepitas sea de 2,75 euros el kilo y el precio con pepitas de 2,25 euros el kilo.
El dueño de la frutería quiere que, en cualquier circunstancia, el número de kilos de sandía negra con pepitas vendidos sea un tercio del total de kilos de sandías sin pepitas y sandías rayadas.
1.a) (1,25 puntos) El frutero considera que para poder pagar el alquiler y obtener beneficio, debe recaudar de la venta 5400 euros cualquier semana de la campaña. Si se venden todas las sandías almacenadas para la semana, ¿cuántos kilos debería vender de cada variedad para recaudar exactamente ese importe?
1.b) (1,25 puntos) Con la idea de simplificar el etiquetado, el frutero necesita saber si es posible poner el mismo precio a todas las variedades de sandías y seguir recaudando 5400 euros a la semana vendiendo los 2700 kilos. Si fuera posible, ¿cuál sería el precio de venta del kilo de sandía?, ¿cuál sería la cantidad de kilos de cada variedad que debería vender?. Justifique si dichas cantidades serían únicas.
Paso 1
Definición de variables y planteamiento del sistema
**1.a) (1,25 puntos) El frutero considera que para poder pagar el alquiler y obtener beneficio, debe recaudar de la venta 5400 euros cualquier semana de la campaña. Si se venden todas las sandías almacenadas para la semana, ¿cuántos kilos debería vender de cada variedad para recaudar exactamente ese importe?**
En primer lugar, definimos las incógnitas del problema:
- $x$: kilos de sandía verde rayada.
- $y$: kilos de sandía negra sin pepitas.
- $z$: kilos de sandía negra con pepitas.
Según el enunciado, planteamos las tres ecuaciones:
1. La capacidad total es de 2700 kilos:
$$x + y + z = 2700$$
2. La proporción de sandía negra con pepitas ($z$) es un tercio de las otras dos ($x, y$):
$$z = \frac{1}{3}(x + y) \implies 3z = x + y \implies x + y - 3z = 0$$
3. La recaudación total debe ser de 5400 euros con los precios dados:
$$1,25x + 2,75y + 2,25z = 5400$$
💡 **Tip:** Es fundamental definir claramente qué representa cada variable antes de escribir las ecuaciones para evitar confusiones con los coeficientes de precios.
Paso 2
Resolución del sistema de ecuaciones (Apartado a)
Tenemos el sistema:
$$\begin{cases} x + y + z = 2700 \\ x + y - 3z = 0 \\ 1,25x + 2,75y + 2,25z = 5400 \end{cases}$$
Podemos simplificar el cálculo restando las dos primeras ecuaciones para eliminar $x$ e $y$:
$$(x + y + z) - (x + y - 3z) = 2700 - 0$$
$$4z = 2700 \implies z = \frac{2700}{4} = 675 \text{ kg}$$
Sustituimos $z = 675$ en las ecuaciones 1 y 3:
- De la ec. 1: $x + y + 675 = 2700 \implies x + y = 2025$
- De la ec. 3: $1,25x + 2,75y + 2,25(675) = 5400$
$$1,25x + 2,75y + 1518,75 = 5400 \implies 1,25x + 2,75y = 3881,25$$
Ahora resolvemos por sustitución ($x = 2025 - y$):
$$1,25(2025 - y) + 2,75y = 3881,25$$
$$2531,25 - 1,25y + 2,75y = 3881,25$$
$$1,5y = 1350 \implies y = \frac{1350}{1,5} = 900 \text{ kg}$$
Finalmente, calculamos $x$:
$$x = 2025 - 900 = 1125 \text{ kg}$$
✅ **Resultado:**
$$\boxed{x = 1125 \text{ kg, } y = 900 \text{ kg, } z = 675 \text{ kg}}$$
Paso 3
Cálculo del precio único para el apartado b
**1.b) (1,25 puntos) Con la idea de simplificar el etiquetado, el frutero necesita saber si es posible poner el mismo precio a todas las variedades de sandías y seguir recaudando 5400 euros a la semana vendiendo los 2700 kilos. Si fuera posible, ¿cuál sería el precio de venta del kilo de sandía?, ¿cuál sería la cantidad de kilos de cada variedad que debería vender?. Justifique si dichas cantidades serían únicas.**
Si todas las sandías tienen el mismo precio $P$, la recaudación es el precio por la cantidad total:
$$P \cdot (x + y + z) = 5400$$
Como sabemos que el total de kilos es $x + y + z = 2700$:
$$P \cdot 2700 = 5400 \implies P = \frac{5400}{2700} = 2 \text{ €/kg}$$
Por tanto, **es posible** recaudar esa cantidad vendiendo todas las sandías a un precio único de **2 euros el kilo**.
💡 **Tip:** Cuando se vende un total fijo de productos a un precio uniforme, el precio es simplemente la recaudación deseada dividida por el total de unidades.
Paso 4
Análisis de la cantidad de kilos (Apartado b)
Para determinar las cantidades de cada variedad, planteamos el sistema con las condiciones que deben cumplirse "en cualquier circunstancia":
1. Cantidad total: $x + y + z = 2700$
2. Condición de proporción: $x + y - 3z = 0$
3. Recaudación con precio único: $2x + 2y + 2z = 5400$
Observemos que la tercera ecuación ($2x + 2y + 2z = 5400$) es proporcional a la primera ($x + y + z = 2700$). Esto significa que tenemos un sistema de **2 ecuaciones con 3 incógnitas**:
$$\begin{cases} x + y + z = 2700 \\ x + y - 3z = 0 \end{cases}$$
Como ya vimos en el apartado anterior, de estas dos ecuaciones se deduce que $4z = 2700$, por lo que:
$$z = 675 \text{ kg}$$
Sustituyendo en la primera: $x + y = 2025 \implies y = 2025 - x$.
Esto es un **Sistema Compatible Indeterminado (S.C.I.)**. Existen infinitas combinaciones posibles de $x$ e $y$ (siempre que sean valores no negativos y $x + y = 2025$). Por tanto, **las cantidades no serían únicas**.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{\text{Precio: 2 €/kg. Cantidades: } z = 675 \text{ kg, } x+y = 2025 \text{ kg. No son únicas.}}$$