Estudio de función exponencial y cálculo de integral definida

**2.2.a) (1,25 puntos) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función y clasifique, si procede, sus extremos relativos.** Para estudiar la monotonía (crecimiento y decrecimiento) y los extremos relativos, primero calculamos la derivada de la función $f(x) = e^x(-x^2 + 3)$ utilizando la regla del producto. Llamamos $u = e^x$ y $v = -x^2 + 3$. Entonces $u' = e^x$ y $v' = -2x$. $$f'(x) = (e^x)'(-x^2 + 3) + e^x(-x^2 + 3)'$$ $$f'(x) = e^x(-x^2 + 3) + e^x(-2x)$$ Factorizamos $e^x$ para simplificar la expresión: $$f'(x) = e^x(-x^2 + 3 - 2x) = e^x(-x^2 - 2x + 3)$$ 💡 **Tip:** Recuerda la regla del producto: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$. Factorizar la exponencial al final siempre ayuda a resolver la ecuación $f'(x)=0$ más fácilmente.

Los puntos críticos ocurren cuando $f'(x) = 0$: $$e^x(-x^2 - 2x + 3) = 0$$ Como la función exponencial $e^x$ siempre es positiva ($e^x \gt 0$), la igualdad se cumple solo si: $$-x^2 - 2x + 3 = 0 \implies x^2 + 2x - 3 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-3)}}{2(1)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2}$$ Esto nos da dos valores: $$x_1 = \frac{2}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{-6}{2} = -3$$ Ahora analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por estos puntos: $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty,-3) & -3 & (-3,1) & 1 & (1,+\infty)\\\hline e^x & + & + & + & + & +\\ -x^2-2x+3 & - & 0 & + & 0 & -\\\hline f'(x) & - & 0 & + & 0 & - \end{array}$$ 💡 **Tip:** Para saber el signo en un intervalo, elige un valor de prueba. Por ejemplo, en $(-3, 1)$ puedes probar con $x=0$: $f'(0) = e^0(0+0+3) = 3 \gt 0$.

A partir de la tabla de signos, concluimos: - **Intervalo de decrecimiento:** $(-\infty, -3) \cup (1, +\infty)$ porque $f'(x) \lt 0$. - **Intervalo de crecimiento:** $(-3, 1)$ porque $f'(x) \gt 0$. Para clasificar los extremos: - En $x = -3$, la función pasa de decrecer a crecer, por lo que hay un **mínimo relativo**. - En $x = 1$, la función pasa de crecer a decrecer, por lo que hay un **máximo relativo**. Calculamos las ordenadas: - $f(-3) = e^{-3}(-(-3)^2 + 3) = e^{-3}(-9 + 3) = -6e^{-3} = -\frac{6}{e^3}$. - $f(1) = e^1(-(1)^2 + 3) = e(2) = 2e$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{matrix} \text{Crecimiento: } (-3, 1) \\ \text{Decrecimiento: } (-\infty, -3) \cup (1, +\infty) \\ \text{Mínimo relativo: } (-3, -6/e^3) \\ \text{Máximo relativo: } (1, 2e) \end{matrix}}$$

**2.2.b) (1,25 puntos) Halle el valor de la integral definida $\int_1^2 \frac{f(x)}{xe^x} dx$** Sustituimos la expresión de $f(x)$ en la integral: $$\int_1^2 \frac{e^x(-x^2 + 3)}{xe^x} dx$$ Observamos que $e^x$ aparece tanto en el numerador como en el denominador, por lo que podemos simplificar: $$\int_1^2 \frac{-x^2 + 3}{x} dx$$ Ahora separamos la fracción en dos términos para facilitar la integración: $$\int_1^2 \left( \frac{-x^2}{x} + \frac{3}{x} \right) dx = \int_1^2 \left( -x + \frac{3}{x} \right) dx$$ 💡 **Tip:** Antes de intentar métodos complejos como integración por partes, siempre verifica si la expresión se puede simplificar algebraicamente.

Calculamos la integral indefinida: $$\int \left( -x + \frac{3}{x} \right) dx = -\frac{x^2}{2} + 3\ln|x|$$ Aplicamos la **Regla de Barrow** entre los límites $1$ y $2$: $$\left[ -\frac{x^2}{2} + 3\ln|x| \right]_1^2 = \left( -\frac{2^2}{2} + 3\ln|2| \right) - \left( -\frac{1^2}{2} + 3\ln|1| \right)$$ Calculamos los valores numéricos sabiendo que $\ln(1) = 0$: $$\left( -\frac{4}{2} + 3\ln 2 \right) - \left( -\frac{1}{2} + 0 \right) = (-2 + 3\ln 2) + \frac{1}{2}$$ Sumamos los términos constantes: $$-2 + \frac{1}{2} = -\frac{4}{2} + \frac{1}{2} = -\frac{3}{2}$$ El resultado final es: $$3\ln 2 - \frac{3}{2}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\int_1^2 \frac{f(x)}{xe^x} dx = 3\ln 2 - \frac{3}{2} \approx 0,5794}$$