Inferencia estadística y aproximación de la binomial por la normal

**3.1.a) (1 punto) La empresa organizadora del concurso elegirá en el taller de cada participante una muestra aleatoria simple de pastillas de jabón para obtener una estimación de la proporción de ellas que superan el control de calidad. Suponiendo cierta la creencia del maestro jabonero sobre la calidad de sus pastillas, determine el tamaño mínimo necesario de la muestra de pastillas de jabón que la empresa organizadora debe tomar en el taller de este artesano para garantizar, con un nivel de confianza del 95 %, que el margen de error en la estimación sea inferior al 5 %.** Primero, identificamos los datos que nos proporciona el enunciado para la proporción poblacional: - Proporción de éxito (pasar el control): $p = 90\% = 0,9$ - Proporción de fracaso: $q = 1 - p = 0,1$ - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0,95$ - Margen de error admitido: $E \lt 0,05$ (5 %) Calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ para un nivel de confianza del $95\%$: Como $1 - \alpha = 0,95$, entonces $\alpha = 0,05$ y $\alpha/2 = 0,025$. Buscamos en la tabla de la normal $N(0,1)$ el valor cuya probabilidad acumulada sea $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0,025 = 0,975$. Consultando la tabla: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 1,96}$$ 💡 **Tip:** Los valores críticos más comunes son 1,645 para el 90 %, 1,96 para el 95 % y 2,575 para el 99 %.

Utilizamos la fórmula del margen de error para la proporción: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{p \cdot q}{n}}$$ Queremos que el error sea inferior a $0,05$, por lo que despejamos $n$ de la desigualdad: $$z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{p \cdot q}{n}} \lt E \implies \frac{z_{\alpha/2}^2 \cdot p \cdot q}{n} \lt E^2 \implies n \gt \frac{z_{\alpha/2}^2 \cdot p \cdot q}{E^2}$$ Sustituimos los valores: $$n \gt \frac{(1,96)^2 \cdot 0,9 \cdot 0,1}{(0,05)^2}$$ $$n \gt \frac{3,8416 \cdot 0,09}{0,0025} = \frac{0,345744}{0,0025} = 138,2976$$ Como el tamaño de la muestra $n$ debe ser un número entero y debe ser mayor que $138,2976$ para que el error sea **inferior** al $5\%$, tomamos el primer entero superior. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n = 139 \text{ pastillas}}$$

**3.1.b) (1,5 puntos) Si finalmente la organización decide seleccionar una muestra aleatoria simple de 140 pastillas de jabón de este artesano, calcule, aproximando por la distribución normal adecuada, la probabilidad de que al menos 120 pastillas de jabón superen el control de calidad.** Definimos la variable aleatoria $X$ como el número de pastillas que superan el control de calidad en una muestra de $n = 140$. Se trata de una distribución binomial: $$X \sim B(n, p) = B(140, 0,9)$$ Queremos calcular la probabilidad de que "al menos 120" superen el control, es decir: $P(X \ge 120)$. 💡 **Tip:** En una binomial, $n$ es el número de ensayos y $p$ la probabilidad de éxito en cada uno.

Para aproximar una Binomial $B(n, p)$ por una Normal $N(\mu, \sigma)$, debemos comprobar si se cumplen las condiciones de validez: 1. $n \cdot p = 140 \cdot 0,9 = 126 \gt 5$ 2. $n \cdot q = 140 \cdot 0,1 = 14 \gt 5$ Como ambas son mayores que 5, podemos realizar la aproximación. Calculamos los parámetros de la nueva distribución normal $X'$: - Media: $\mu = n \cdot p = 126$ - Desviación típica: $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q} = \sqrt{140 \cdot 0,9 \cdot 0,1} = \sqrt{12,6} \approx 3,55$ Por tanto, aproximamos $X$ mediante $X' \sim N(126, 3,55)$. 💡 **Tip:** Recuerda que la aproximación es buena si $np \gt 5$ y $nq \gt 5$.

Para pasar de una variable discreta ($X$) a una continua ($X'$), aplicamos la **corrección de continuidad de Yates**: $$P(X \ge 120) = P(X' \ge 119,5)$$ Ahora tipificamos la variable para poder usar la tabla de la normal estándar $Z \sim N(0,1)$: $$Z = \frac{X' - \mu}{\sigma} = \frac{119,5 - 126}{3,55} = \frac{-6,5}{3,55} \approx -1,83$$ Calculamos la probabilidad: $$P(Z \ge -1,83)$$ Por simetría de la campana de Gauss: $$P(Z \ge -1,83) = P(Z \le 1,83)$$ Buscamos el valor $1,83$ en la tabla de la normal $N(0,1)$: $$P(Z \le 1,83) = 0,9664$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \ge 120) \approx 0,9664}$$ 💡 **Tip:** La corrección de continuidad consiste en sumar o restar 0,5 al valor para cubrir el intervalo de la variable discreta en la continua.