Inferencia estadística: Intervalo de confianza y distribución de la media muestral

**3.2.a) (1,25 puntos) La empresa organizadora del concurso seleccionó 140 pastillas de jabón de este artesano y obtuvo que el peso total fue de 17500 gramos. Obtenga un intervalo de confianza del 99 % para estimar el peso medio $\mu$ de las pastillas de jabón de este artesano.** Primero, identificamos los datos proporcionados por el enunciado: - Desviación típica poblacional: $\sigma = 30$ g. - Tamaño de la muestra: $n = 140$. - Peso total de la muestra: $17500$ g. Calculamos la media muestral ($\bar{x}$): $$\bar{x} = \frac{\text{Peso total}}{n} = \frac{17500}{140} = 125 \text{ g}.$$ 💡 **Tip:** La media muestral es el mejor estimador puntual de la media poblacional $\mu$.

Para un nivel de confianza del $99\%$, calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$: 1. Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.99$. 2. Nivel de significación: $\alpha = 1 - 0.99 = 0.01$. 3. Repartimos el error en las dos colas: $\alpha/2 = 0.005$. 4. Buscamos en la tabla de la normal $N(0,1)$ el valor que deja a su izquierda una probabilidad de: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.005 = 0.9950.$$ Mirando las tablas, el valor $0.9950$ se encuentra justo entre $2.57$ y $2.58$. Tomamos el valor medio: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 2.575}$$ 💡 **Tip:** Si no quieres usar el valor exacto, el uso de $2.58$ también suele aceptarse en los exámenes, pero $2.575$ es más preciso.

Calculamos el error máximo admisible ($E$): $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 2.575 \cdot \frac{30}{\sqrt{140}} \approx 2.575 \cdot \frac{30}{11.832} \approx 2.575 \cdot 2.535 = 6.5285.$$ El intervalo de confianza viene dado por $(\bar{x} - E, \bar{x} + E)$: $$I.C. = (125 - 6.5285, \; 125 + 6.5285) = (118.4715, \; 131.5285).$$ ✅ **Resultado (Intervalo de confianza):** $$\boxed{I.C. = (118.47, \; 131.53)}$$

**3.2.b) (1,25 puntos) Si el verdadero valor de $\mu$ fuera igual a 100 gramos, ¿cuál sería la probabilidad de que el peso medio de 64 pastillas de jabón de una muestra aleatoria simple fuera superior a 110 gramos?** Sabemos que el peso de las pastillas sigue una $N(100, 30)$. Para una muestra de tamaño $n=64$, la media muestral $\bar{X}$ sigue una distribución normal: $$\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$ Sustituimos los valores: - $\mu = 100$ - $\sigma_{\bar{x}} = \frac{30}{\sqrt{64}} = \frac{30}{8} = 3.75$ Por tanto, **$\bar{X} \sim N(100, \; 3.75)$**. 💡 **Tip:** Recuerda que la desviación típica de la media muestral disminuye a medida que aumenta el tamaño de la muestra.

Queremos hallar $P(\bar{X} \gt 110)$. Tipificamos la variable para pasar a una normal estándar $Z \sim N(0,1)$: $$Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma_{\bar{x}}} = \frac{110 - 100}{3.75} = \frac{10}{3.75} = 2.666... \approx 2.67.$$ Entonces: $$P(\bar{X} \gt 110) = P(Z \gt 2.67).$$ Como las tablas solo nos dan probabilidades del tipo $P(Z \le z)$, aplicamos la propiedad del complementario: $$P(Z \gt 2.67) = 1 - P(Z \le 2.67).$$ Buscamos $2.67$ en la tabla de la normal: $$P(Z \le 2.67) = 0.9962.$$ Finalmente: $$P(\bar{X} \gt 110) = 1 - 0.9962 = 0.0038.$$ ✅ **Resultado (Probabilidad):** $$\boxed{P(\bar{X} \gt 110) = 0.0038}$$