Probabilidad y Estadística 2025 Madrid
Probabilidad en ventas de automóviles: Teorema de Bayes
EJERCICIO 4 (2,5 puntos) Responda únicamente a una de las dos preguntas, o bien 4.1 o 4.2.
Pregunta 4.1
En un concesionario el 50 % de sus ventas son de automóviles microhíbridos, el 35 % híbridos y el resto eléctricos eléctricos enchufables. El acabado más alto de gama se vende en el 80 % de los eléctricos enchufables, el 60 % de los híbridos y el 45 % de los microhíbridos. Se selecciona una operación de venta al azar.
4.1.a) (1,25 puntos) Calcule la probabilidad de que el coche vendido en esa operación no tenga el acabado más alto de la gama.
4.1.b) (1,25 puntos) Si el coche correspondiente a la operación de venta seleccionada tiene el acabado más alto de la gama, determine la probabilidad de que sea eléctrico enchufable.
Paso 1
Definición de sucesos y construcción del árbol de probabilidad
**4.1.a) (1,25 puntos) Calcule la probabilidad de que el coche vendido en esa operación no tenga el acabado más alto de la gama.**
Primero, definimos los sucesos del problema según el tipo de motorización:
- $M$: El coche es microhíbrido.
- $H$: El coche es híbrido.
- $E$: El coche es eléctrico enchufable.
Y según el acabado:
- $A$: El coche tiene el acabado más alto de la gama.
- $\bar{A}$: El coche **no** tiene el acabado más alto de la gama.
Extraemos los datos del enunciado:
- $P(M) = 0,50$
- $P(H) = 0,35$
- $P(E) = 1 - (0,50 + 0,35) = 0,15$ (ya que es el resto)
Probabilidades condicionadas del acabado alto ($A$):
- $P(A|M) = 0,45 \implies P(\bar{A}|M) = 0,55$
- $P(A|H) = 0,60 \implies P(\bar{A}|H) = 0,40$
- $P(A|E) = 0,80 \implies P(\bar{A}|E) = 0,20$
💡 **Tip:** En un árbol de probabilidad, la suma de las ramas que parten de un mismo nodo siempre debe ser 1.
Paso 2
Cálculo de la probabilidad de no tener acabado alto
Para calcular $P(\bar{A})$, utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total**, sumando las probabilidades de todas las ramas que terminan en $\bar{A}$:
$$P(\bar{A}) = P(M) \cdot P(\bar{A}|M) + P(H) \cdot P(\bar{A}|H) + P(E) \cdot P(\bar{A}|E)$$
Sustituimos los valores numéricos:
$$P(\bar{A}) = (0,50 \cdot 0,55) + (0,35 \cdot 0,40) + (0,15 \cdot 0,20)$$
Realizamos las operaciones intermedias:
- Para microhíbridos: $0,50 \cdot 0,55 = 0,275$
- Para híbridos: $0,35 \cdot 0,40 = 0,14$
- Para eléctricos: $0,15 \cdot 0,20 = 0,03$
Sumamos los resultados:
$$P(\bar{A}) = 0,275 + 0,14 + 0,03 = 0,445$$
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(\bar{A}) = 0,445}$$
Paso 3
Cálculo de la probabilidad condicionada (Teorema de Bayes)
**4.1.b) (1,25 puntos) Si el coche correspondiente a la operación de venta seleccionada tiene el acabado más alto de la gama, determine la probabilidad de que sea eléctrico enchufable.**
Nos piden calcular $P(E|A)$. Según el **Teorema de Bayes**:
$$P(E|A) = \frac{P(E \cap A)}{P(A)} = \frac{P(E) \cdot P(A|E)}{P(A)}$$
Primero, calculamos $P(A)$. Como sabemos que $P(A) + P(\bar{A}) = 1$:
$$P(A) = 1 - P(\bar{A}) = 1 - 0,445 = 0,555$$
Ahora calculamos el numerador $P(E \cap A)$:
$$P(E \cap A) = P(E) \cdot P(A|E) = 0,15 \cdot 0,80 = 0,12$$
Finalmente, calculamos la probabilidad condicionada:
$$P(E|A) = \frac{0,12}{0,555}$$
Calculamos el valor decimal (aproximando a cuatro decimales):
$$P(E|A) \approx 0,2162$$
💡 **Tip:** El Teorema de Bayes se usa cuando nos dan el resultado final (acabado alto) y queremos saber la probabilidad de una causa previa (que sea eléctrico).
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(E|A) = \frac{0,12}{0,555} \approx 0,2162}$$