Probabilidad: Sucesos independientes y disjuntos

**4.2.a) (1 punto) Calcule la probabilidad de que ocurra al menos uno de los sucesos $A$ o $B$.** Primero, identificamos el significado de los datos proporcionados: 1. $A$ y $C$ son **disjuntos**: Esto significa que no pueden ocurrir a la vez, por lo tanto $P(A \cap C) = 0$. 2. $A$ y $B$ son **independientes**: Esto implica que la probabilidad de su intersección es el producto de sus probabilidades individuales: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$. Calculamos $P(A \cap B)$: $$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = 0,25 \cdot 0,2 = 0,05$$ 💡 **Tip:** Recuerda que dos sucesos son independientes si y solo si $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.

La probabilidad de que ocurra "al menos uno" de los dos sucesos es la probabilidad de la unión, $P(A \cup B)$. Utilizamos la fórmula general: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$ Sustituimos los valores conocidos: $$P(A \cup B) = 0,25 + 0,2 - 0,05 = 0,4$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A \cup B) = 0,4}$$ 💡 **Tip:** La expresión "al menos uno" siempre hace referencia a la unión de sucesos ($A \cup B$).

**4.2.b) (1 punto) Calcule $P(\overline{B} \cup \overline{C})$.** Para resolver este apartado, utilizamos una de las **Leyes de Morgan**, que relaciona la unión de complementarios con el complementario de la intersección: $$\overline{B} \cup \overline{C} = \overline{B \cap C}$$ Por la propiedad del suceso contrario, sabemos que: $$P(\overline{B \cap C}) = 1 - P(B \cap C)$$ Como el enunciado nos da directamente $P(B \cap C) = 0,05$, realizamos la resta: $$P(\overline{B} \cup \overline{C}) = 1 - 0,05 = 0,95$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\overline{B} \cup \overline{C}) = 0,95}$$ 💡 **Tip:** Las Leyes de Morgan son fundamentales en probabilidad: $\overline{A} \cup \overline{B} = \overline{A \cap B}$ y $\overline{A} \cap \overline{B} = \overline{A \cup B}$.

**4.2.c) (0,5 puntos) ¿Pueden ser independientes los sucesos $A$ y $C$?** Para que dos sucesos $A$ y $C$ sean independientes, debe cumplirse que: $$P(A \cap C) = P(A) \cdot P(C)$$ Analizamos los datos que tenemos: 1. Sabemos que $A$ y $C$ son **disjuntos**, por lo que $P(A \cap C) = 0$. 2. Sabemos que $P(A) = 0,25$. 3. Para el suceso $C$, sabemos que $P(B \cap C) = 0,05$. Como la intersección $B \cap C$ es un subconjunto de $C$, se debe cumplir que $P(C) \ge P(B \cap C)$, por tanto $P(C) \ge 0,05$ (es decir, $P(C)$ no es cero). Calculamos el producto de sus probabilidades: $$P(A) \cdot P(C) = 0,25 \cdot P(C)$$ Como $P(C) \gt 0$, entonces $P(A) \cdot P(C) \gt 0$. Sin embargo, $P(A \cap C) = 0$. Al ser los resultados distintos ($0 \neq P(A) \cdot P(C)$), los sucesos **no pueden ser independientes**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No, porque } P(A \cap C) = 0 \text{ y } P(A) \cdot P(C) \neq 0}$$ 💡 **Tip:** Dos sucesos con probabilidad distinta de cero no pueden ser disjuntos e independientes al mismo tiempo.